Linearisierung

Description

Bei einer Linearisation wird eine Nicht-Lineare Differentialgleichung um kritische Punkte durch eine Linear ODE approximiert.

Linearisierte Stabilität

Sei $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ offen und zusammenhängend, $x^{\prime }=f(x)$ eine DGL mitstetig differenzierbarem $g$ und Startwert $x_0\in D$ mit $g(x_0)=0$. Es bezeichnen ${\lambda }_1,...,{\lambda }_m$ die Eigenwerte der Jacobi-Matrix $Jg(x_0)$

1. Sind alle Eigenwerte negativ, so ist $x_0$ eine asymptotisch stabile Ruhelage.
2. Gibt es einen positiven Eigenwert, so ist $x_0$ instabile Ruhelage.

Idee: Sei $x^{\ast }\in \mathbb{R}$ ein kritischer Punkt einer Differentialgleichung $\dot{x}=f(x)$ und sei $\eta (t)=x(t)-x^{\ast }$ eine kleine Störung von $x^{\ast }$. Wir wollen die Stabilität von $x^{\ast }$ ermitteln, d.h. wir wollen wissen, ob der Fehler sich im Laufe der Zeit vergrößert. Dazu differenzieren wir den Fehler und erhalten die Gleichung $\dot{\eta }=\dot{x}$. Durch eine Taylorentwicklung erhalten wir $f(x^{\ast }+\eta )=f(x^{\ast })+\eta f^{\prime }(x^{\ast })+O({\eta }^2)$ wobei $O(\eta )$ ein Fehlerterm ist, der quadratisch von $\eta$ abhängt und damit für sehr kleine Werte vernachlässigbar ist. Wir erhalten demnach: $\dot{\eta }\approx \eta f^{\prime }(x^{\ast })$ Das bedeutet, dass für $f^{\prime }(x^{\ast })>0$ eine Solution (ODE), die nach an $x^{\ast }$ beginnt, sich exponentiell entfernt. Ist $f^{\prime }(x^{\ast })<0$, so nähert sich die Lösung $x^{\ast }$ an. Ist $f(x^{\ast })=0$, so lässt sich durch Linearisierung keine Aussage über die Stabilität treffen.

Properties