Formale Ableitung

Beschreibung

Die Formale Ableitung ist eine Operation. Sie erlaubt es, ein Polynom in ein anderes Polynom umzuwandeln, als hätte man eine Ableitung verwendet. Formale Ableitung wird oft im Zusammenhang mit nicht-stetigen Ringen oder Körpern verwendet. Eine Ableitung im herkmmlichen Sinne ist daher nicht definierbar. Daher nennt man diese formal.

Definition

Die Formale Ableitung entspricht der Ableitung. Im Gegensatz zu ihr ist diese aber nur durch eine formale Anwendung der Ableitungsregeln definiert.

Sei $K$ ein Körper und $f={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k\in K[x]$, mit $n\in {\mathbb{N}}_0$ und $a_i\in K$. Dann nent man $f^{\prime }={\sum }_{k=1}^{n}k{a}_k{x}^{k-1}$ die formale Ableitung von $f$[^1]

Übungen

McEliece Übung 6-1

Zeige dass einige Regeln der gewöhnlichen Regeln hier ebenfalls gelten

a)

Die Additionsregel gilt offensichtlich: $(P+Q{)}^{\prime }=P^{\prime }+Q^{\prime }$

b)

Zeige, dass die Produktregel $(PQ{)}^{\prime }=P{Q}^{\prime }+P^{\prime }Q$ gilt.

&= (\sum_{k = 0}^{n+m}(\sum_{i+j=k}p_iq_j)x^k)\\ &= (\sum_{k = 1}^{n+m}(\sum_{i+j=k}p_iq_j)kx^{k-1})\end{align}$$ Von der anderen Seite: $$\begin{align}PQ'+P'Q &= (\sum_{i=0}^n p_ix^i)(\sum_{j=0}^m q_ix^i)'+(\sum_{i=0}^n p_ix^i)'(\sum_{j=0}^m q_ix^i)\\ &= (\sum_{i=0}^n p_ix^i)(\sum_{j=1}^m jq_jx^{j-1})+(\sum_{i=1}^n ip_ix^{i-1})(\sum_{j=0}^m q_jx^j)\\ &= (\sum_{k = 1}^{n+m}(\sum_{i+j=k}jp_iq_j)x^{k-1})+(\sum_{k = 1}^{n+m}(\sum_{i+j=k}jp_iq_j)x^{k-1})\\ &= \sum_{k = 1}^{n+m}(\sum_{i+j=k}(i+j)p_iq_j)x^{k-1}\\ &= \sum_{k = 1}^{n+m}(\sum_{i+j=k}p_iq_j)kx^{k-1}\\ &= (PQ)'\end{align}$$ ### c) Zeige $(P^m)' = mP^{m-1}P'$ Beweise das durch vollständige Induktion: Induktionsanfang $(n = 1)$ $(P^1)' = P' = 1P^0P'$ Induktion $(n+1)$ $$(P^{m+1})' = (P\cdot P^m)' = P(P^m)'+P'(P^m) = PmP^{m-1}P'+P'P^m = P'P^m(m+1)$$ ### d) Sei $P = P_1^{e_1} ... P_m^{Pe_m}$ eine Faktorisierung eines Polynoms in irreduzible Polynompotenzen. Zeige: $$\frac{P}{ggT(P, P')} = P_1 ... P_m$$ Zeige durch vollständige Induktion über $m$. Induktionsanfang $m = 1$: $$P = P_1^{e_1} \implies \frac{P_1^{e_1}}{ggT(P_1^{e_1}, P_1^{e_1-1}P_1')}=\frac{P_1^{e_1}}{P_1^{e_1-1}} = P_1$$ Denn $ggT(P_1^{e_1}, P_1^{e_1-1}P_1') = P_1^{e_1-1}$. $P_1$ und $P_1'$ müssen nämlich teilerfremd. Wären sie es nicht. Dann wäre $ggT(P_1, P_1') \neq 1$ und es gäbe somit ein Polynom welches das irreduzible Polynom $P_1$ teilt. Induktion $(m+1)$: $$\begin{align}\frac{P}{ggT(P, P')} &=\frac{\bar P P_{m+1}^{e_{m+1}}}{ggT(\bar PP_{m+1}^{e_{m+1}}, (\bar PP_{m+1}^{e_{m+1}})')}\\ &= \frac{\bar P P_{m+1}^{e_{m+1}}}{ggT(\bar PP_{m+1}^{e_{m+1}}, \bar P'P_{m+1}^{e_{m+1}} + \bar P (P_{m+1}^{e_{m+1}})' )} \\ &= \frac{\bar P P_{m+1}^{e_{m+1}}}{ggT(\bar PP_{m+1}^{e_{m+1}}, \bar P'P_{m+1}^{e_{m+1}} + \bar P (P_{m+1}^{e_{m+1}-1}P_{m+1}') )} \\ &= \frac{\bar P P_{m+1}^{e_{m+1}}}{ggT(\bar PP_{m+1}^{e_{m+1}}, P_{m+1}^{e_{m+1}-1}(\bar P'P_{m+1} + \bar P P_{m+1}'))} \\ &= \frac{\bar P P_{m+1}^{e_{m+1}}}{ggT(\bar PP_{m+1}^{e_{m+1}}, P_{m+1}^{e_{m+1}-1}(\bar PP_{m+1})')} \\ &= \frac{\bar P P_{m+1}^{e_{m+1}}}{P_{m+1}^{e_{m+1}-1}ggT(P, P')} \\ &= \frac{\bar P }{ggT(P, P')}P_{m+1} \\ &= P_1...P_mP_{m+1} \\ \end{align}

Zeige des Weiteren, dass $P$ genau dann in einfache irreduzible Polynome zerfällt, wenn es mit seiner Ableitung teilerfremd ist. Aus oberer Gleichung folgt: $P=ggT(P,P^{\prime })P_1...P_m$ Man erkennt, das der $ggT=1$, damit $P=P_1...P_m$.

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