Limit set

Description

Die Grenzmenge (engl. Limit set) beschreibt die Punkte im unendlichen, die man durch wiederholtes Anwenden einer Isometrie oder einer Isometriemenge erreichen kann. z.B. $z\mapsto z+1$.

Sie spielen eine große Rolle in Zusammenhang mit einer Fuchsian group.

Ich frage mich ob das mit Wenyuan Yang - Limit sets for branching random walks on relatively hyperbolic groups zusammenhängt…

Definition (on $H$)

The Fuchsian group $\Gamma$ acts on the boundary $S^1=\partial H$. Take a point $z\in H$ and consider the completion of the orbit on the boundary $\bar{H}$. We define the limit set as follows: ${\Lambda }_{\Gamma }(z):=\overline{{\Gamma }_z}\cap S^1$

Note: The above is an $\Gamma$-Invariant, meaning invariant under differently chosen $z\in H$.

Definition (by fixed points)

If $\Lambda (\Gamma )$ contains more than one point (i.e. is not generated by one Parabolische Möbiustransformation) then $\Lambda (\Gamma )$ is the closure of the set of fixed points of the hyperbolic transformations.

Definition (on Riemann surfaces)

Sei $X$ eine hyperbolische Riemann surface und $\pi :H\to X$ eine Universal cover. Diese Überlagerung stellt $X$ als Quotient $H/\Gamma$ dar. $\Gamma$ wirkt außerdem auf $S^1=\partial H$. Nehme einen Punkt $z\in H$ und betrachte den Abschluss des Orbits auf dem Rand $\bar{H}$. Wir definieren die Grenzmenge als ${\Lambda }_{\Gamma }(z):=\overline{{\Gamma }_z}\cap S^1$

Katok shows, that hyperbolic transformations alone suffice. Meaning, parabolic and elliptic elements can be ignored.

Properties

Satz: Ganzer Kreis oder volumenlose Menge

The Limit set of the Poincaré Scheibe is either the whole circle or a zero-volume, perfect (?), nowhere dense subset of $\Sigma$ ($0,1$ or $2$ point or the Cantor set). The shape limit set tells us the classification of the Fuchsian group into one of two classes.

Beispiele

Beispiel: Freie Gruppe

Die Freie Gruppe wirkt wie folgt auf der Hyperbolische Ebene Die Grenzmenge ist homöomorph zur Cantor-Menge.