Analytische Funktion

Beschreibung

Eine Analytische Funktion f besitzt an jedem Punkt einen offenen Kreis in dem jeder Wert durch eine Potenzreihe beschrieben werden kann.

Ein fundamentaler Satz zeigt, dass das genau die Funktionen, die holomorph sind. Analytische Funktionen sind Spezialfälle von Meromorphe Funktion

Definition

Analytische Funktion

Seien

• $U\subset \mathbb{C}$ eine eine offene Definitionsmenge von $f$
• $f:U\to \mathbb{C}$

$f$ ist analytisch, wenn es zu jedem Entwicklungspunkt $w\in U$ einen offenen Kreis $K(w,r_w)\subseteq U$ um $w$ mit Radius $r_w>0$ und eine darin konvergente Potenzreihe gibt sodass f(x)=\sum_{k=0}^\infty{c_k(x-w)^k} \tag{1}¹

Holomorphe Funktion

Eine komplexe Funktion ist holomorph, wenn sie an jedem Punkt seines Definitionsbereichs komplex differenzierbar ist

Jede Holomorphe Funktion lässt sich durch eine Potenzreihe darstellen und ist somit eine Analytische Funktion

Sei

• $U\subseteq \mathbb{C}$ der Definitionsbereich von $f$ und Wertebereich von $\gamma$
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion
• $\overline{K}(a,r)\subseteq U$ ein abgeschlossener Kreis mit Radius $r>0$ und Mittelpunkt $a\in U$
• $\gamma$ der Kreisweg mit Radius mit Radius $r$ und Mittelpunkt $a$

Dann hat $f$ die Potenzreihendarstellung $f(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k(x-w{)}^k$ mit $c_k=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )}{(\xi -a{)}^{k+1}}d\xi$² Der Satz folgt aus der Cauchy-Integralformel

Charakterisierungen

Erhaltung von Quadraten

Differenziert man eine komplexe Funktion erhält man eine lineare Funktion, welche das lokale Verhalten um einen Punkt beschreibt. Diese lineare Funktion ist eine Drehstreckung. D.h. infinitesimale Figuren werden auf ähnliche infinitesimale Figuren abgebildet. (Quadrate auf Quadrate oder Kreise auf Kreise)³

Cauchy-Riemannsche Ungleichungen

Erfüllt eine Funktion die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, dann ist sie analytisch

Senkrechte Gradienten

Betrachteden Realteil $u$ und Imaginärteil $v$ einer analytischen Funktion als Funktionen die eine Ebene auf die reellen Zahlen.

Dann steht die Richtung der größten Steigung dieser beiden Funktionen senkrecht zu einander.

Formal: $\nabla u\cdot \nabla v=0$

Ich denke, das ist der Tatsache zuschreiben, dass in der komplexen Ebene der Realteil in linker Richtung und der Imaginärteil in oberer Richtung steigt, also orthogonal zueinander. Analytische Funktionen sind lokal Drehstreckungen, diese Orthogonalität bleibt also erhalten.⁴

Irgendwas mit Dreieck

Eine stetige Funktion $f:U\to \mathbb{C}$ auf der Menge $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ist genau dann analytisch, wenn:

• Für jedes Dreieck ist das Integral entlang der Kanten gleich 0: $\underset{△}{\int }f(z)dz=0$ mit $△=[[[z_1,z_2]]]\dot{+}[[[z_2,z_3]]]\dot{+}[[[z_3,z_1]]]$ oder
• Für jeden Punkt $a\in U$ gibt es eine offene Kugel $K(a,r)\subseteq U$, sodass $f{|}_{K(a,r)}$ eine Stammfunktion besitzt. ⁵

Sätze

Siehe Diverse Sätze zu Analytischen Funktionen.

Eigenschaften

Glattheit

Offensichtlich ist jede Analytische Funktion eine Glatte Abbildung.

Holomorphie

Analytische und holomorphe Funktionen und ist äquivalent

Taylorreihen

Durch Experimentieren findet man heraus: Leitet man die Potenzreihendarstellung zum Entwicklungspunkt $a$ $f(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k(x-a{)}^k$ n-mal ab und setzt den Punkt a, erhält man $f^{(n)}(x)=c_{n}n!\text{ bzw. }{c}_n=frac{f}^{(n)}(x)n!$ Dies erinnert uns sehr an die Taylorentwicklung von $f$.

Daher ist die lokale Potenzentwicklung $(1)$ genau die Taylorentwicklung von $f$ im Punkt $a$

Abgeschlossenheit

Seien $f:U\to \mathbb{C}$ und $f:U\to \mathbb{C}$ analytisch.

Wenn U zusammenhängend ist, dann

• die Summe von $f$ und $g$ ist analytisch
• das Produkt von $f$ und $g$ ist analytisch ⁶

Stammfunktion

Jede analytische Funktion f besitzt lokale Stammfunktionen, d.h. eine Einschränkung $f{|}_V$ auf die Menge $V\subseteq U$, sodass $f{|}_V$ eine Stammfunktion (Analysis) besitzt. ⁷

Siehe auch Analytische Funktion mit Stammfunktion

Konvergenz analytischer Funktionen

Sei

• $(f_n:U\to \mathbb{C}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von analytischen Funktionen, die lokal gleichmäßig gegen $f:U\to \mathbb{C}$ konvergiert

Dann ist $f:U\to \mathbb{C}$ analytisch und die Folge $(f_n^{(k)}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ der k-ten Ableitungen konvergiert lokal gleichmäßig gegen die k-te Ableitung $f^{(k)}$ von $f$.⁸

Eigenschaften Injektive Funktionen

Ist $f$ analytisch und injektiv, dann gilt $f^{\prime }(z)\ne 0$ für alle $z\mathbb{C}$⁹

Laurentreihe

Jede Analytische Funktion kann durch eine Laurentreihe dargestellt werden.

Nullstellen

Satz von Rouché

Der Satz von Rouché gibt Voraussetzungen, wann eine im Inneren einer Schleife gleich viele Nullstellen von $f$ und $f+g$ existieren.

Satz von Hurwitz

Der Satz von Hurwitz sagt, wann der Grenzwert einer Folge von analytischen Funktionen Nullstellen hat

Beispiele

Alle wichtigen Funktionen mit Namen sind meist analytisch. ¹⁰

• Exponentialfunktion

• Sinus und Kosinus

• Polynome

• Komplexe Logarithmusfunktion

• $f_a:t\mapsto \frac{1}{z-a}$ mit der Potenzreihenentwicklung zum Entwicklungspunkt $w$: $f_a(x)=\frac{1}{w-a}{\sum }_{k=0}^{\infty }(\frac{w-z}{w-a}{)}^k$ und dem Konvergenzradius $r=|w-a|$¹¹

Footnotes

1. Zenk - Definition 21.1.1 ↩

2. Zenk - Satz 22.4.1 ↩

3. Needham - Abschnitt 4.4.3 ↩

4. Needham - Aufgabe 5.1 ↩

5. Zenk - Satz 22.4.8 ↩

6. Zenk - Lemma 21.2.5 ↩

7. Zenk - Satz 22.4.2 ↩

8. Zenk - Satz 22.8.1 ↩

9. Zenk - Lemma 25.1.1 ↩

10. 3b1b - https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1072s ↩

11. Zenk - Beispiel 21.1.2 ↩