Hauptsatz der Galoistheorie

Beschreibung

Der Hauptsatz der Galoistheorie beschreibt, wie Zwischenkörper einer Galois-Erweiterung Untergruppen der Galoisgruppe zugeordnet werden können.

Es ist ja bereits bekannt, dass eine Galois-Erweiterung $L|K$ die Galoisgruppe $Gal(L|K)$ hat. Diese gibt die Menge aller Körperautomorphismen auf $L$ an, die $K$ gleich lassen.

Genau so kann man für eine Körpererweiterung $L|M$ eines Zwischenkörper $M$ eine entsprechende Gruppe finden: Die Gruppe ist einfach die Menge aller Körperautomorphismen auf $L$, die $M$ gleich lassen. (Was offensichtlich eine Untergruppe von $Gal(L|K)$).

Umgekehrt betrachte eine Menge von Körperautomorphismen. Die zugehörige Erweiterung ist die Erweiterung des Körpers, der von den Automorphismen gleich gelassen wird.

Definition

Sei $L|K$ eine endliche Galois-Erweiterung mit Galoisgruppe $G=Gal(L|K),\mathcal{U}$ die Menge der Untergruppe von $G$ und $\mathcal{Z}$ die Menge der Zwischenkörper von $L|K$. Dann sind die Zuordnungen $\varphi :\mathcal{U}\to \mathcal{Z},U\mapsto L^U\text{ und }\psi :\mathcal{Z}\to \mathcal{U},;\mapsto Gal(L|K)$ zueinander inverse Bijektionen zwischne $\mathcal{U}$ und $\mathcal{Z}$ gegeben.

Ergänzende Aussagen

Zum Hauptsatz kommen einige Ergänzungen.

Ergänzung 1

Sind $U_1,U_2\in \mathcal{U}$ mit $U_1\subset U_2$, dann folgt $L^{U_1}\supseteq L^{U_2}$ Sind umgekehrt $M_1,M_2\in \mathcal{Z}$ mit $M_1\subseteq M_2$, dann ist $Gal(L|M_1)\supseteq Gal(L|M_2)$

Ergänzung 2

Es gilt $L^{\{i{d}_l\}}=L,L^G=K$ und $Gal(L|L)=\{i{d}_L\},Gal(L|K)=G$

Ergänzung 3

Ist $M$ ein Zwischenkörper und $U=Gal(L|M)$ die zugehörige Untergruppe, dann gilt $[L:M]=|U|$ und $[M:K]=(G:U)$

Ergänzung 4

Sei $M$ ein Zwischenkörper von $L|K$ und $U=Gal(L|M)$ die zugehörige Untergruppe vn $G=Gal(L|K)$. Dann sind folgende Aussagen äquivelent

1. Die Erweiterung $M|K$ ist normal
2. Die Untergruppe $U$ ist Normalteiler von $G$

In diesem Fall erhalten wir durch $\sigma \mapsto \sigma {|}_M$ eine Abbildung $G\to Gal(M|K)$, und diese induziert einen natürlichen Isomorphismus

\newcommand{\R}{\mathbb R}