Holomorpher Logarithmus

Beschreibung

Der holomorphe Logarithmus ist im weitesten Sinne eine Verallgemeinerung der Komplexe Logarithmusfunktion, die bei Verkettung mit der Exponentialfunktion nicht nur die Identität (Mathematik) zurückgeben muss, sondern jede Analytische Funktion zurückgeben kann.

Definition

Sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0\}$ ein Gebiet
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine nullstellenfreie, holomorphe Funktion.

Es gibt genau dann einen holomorphen Logarithmus von $f$, d.h. eine holomorphe Funktion $l_f:U\to \mathbb{C}$ mit $f(z)=e^{l_f(z)}$, wenn $\begin{array}{rrcl}\frac{f^{\prime }}{f}:& U& \to & \mathbb{C}\\ & z& \mapsto & \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\end{array}$ eine Stammfunktion besitzt.

Äquivalente Charakterisierung

Sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0\}$ offen und einfach zusammenhängend
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine nullstellenfreie, holomorphe Funktion.

Dann hat $f$ einen holomorphen Logarithmus

Eigenschaften