Holomorpher Logarithmus

Description

Der holomorphe Logarithmus ist im weitesten Sinne eine Verallgemeinerung der Komplexe Logarithmusfunktion, die bei Verkettung mit der Exponentialfunktion nicht nur die Identität (Mathematik) zurückgeben muss, sondern jede Analytische Funktion zurückgeben kann.

Definition (and Theorem)

Sei $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0\}$ ein Gebiet, $f:U\to \mathbb{C}$ eine nullstellenfreie, holomorphe Funktion.

Es gibt genau dann einen holomorphen Logarithmus von $f$, d.h. eine holomorphe Funktion $l_f:U\to \mathbb{C}$ mit $f(z)=e^{l_f(z)}$, wenn $\begin{array}{rrcl}\frac{f^{\prime }}{f}:& U& \to & \mathbb{C}\\ & z& \mapsto & \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\end{array}$ eine Stammfunktion besitzt.

Proof: We will prove one direction of the theorem. A holomorphic logarithm is a $g$ s.t. $f(z)=e^{g(z)}$. This is equivalent to $f(z)e^{-g(x)}=1$. Taking the derivative on both side we follow $e^{-g(z)}(f^{\prime }(z)-f(z)g^{\prime }(z))=0$. Since the exponential can’t be zero the only option left is $g^{\prime }(z)=\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}$. This shows that every logarithm need to have this form which can be used to exclude logarithms or find suitable candidates. One obvious example is ${\log }^{\prime }(z)=\frac{1}{x}$

Examples

Simply connected sets

Sei $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0\}$ offen und einfach zusammenhängend, $f:U\to \mathbb{C}$ eine nullstellenfreie, holomorphe Funktion. Dann hat $f$ einen holomorphen Logarithmus