Reiner Zopf

Beschreibung

Ist die Permutation eines Zopf einfach die Identität, d.h. alle Stränge enden an der Position, an der sie angefangen haben, so bezeichnen wir den Zopf als rein (engl. pure). Ich lasse mir mal ein wenig Zeit, um die Charakterisierungen der Zöpfe auf Reine Zöpfe zu übertragen, weil es echt nützlich ist, um reine Zöpfe besser zu verstehen.

Definition als Partikelbewegung

Man kann Zöpfe als Isotopieklasse von stetigen Bewegungen von $n$ Partikeln $z_i:[0,1]\to \mathbb{C}$ verstehen, bei denen alle Teilchen an fixierten Punkten anfangen und mengenweise an den gleichen Punkten enden. Nummerieren wir die Teilchen und fordern, dass die Teilchen an genau den gleichen Punkten enden wie sie angefangen haben, so bildet die Isotopieklasse der Partikelbewegung die Menge der Reinen Zöpfe $P{B}_n$.

Definition als Konfigurationsraum

Allgemeine Zöpfe sind Kurvenhomotopieklassen des Konfigurationsraumes von $n$ ununterschiedenen Teilchen. Reine Zöpfe unterscheiden zwischen den Teilchen, weshalb reine Zöpfe die Kurvenhomotopieklassen des Konfigurationsraumes $M_n$ von $n$ unterschiedenen Teilchen sind: $M_n:={\mathbb{C}}^n-\{(x_1,...,x_n):x_i=x_j,i\ne j\}$

Definition als Abbildungsklasse

Ein reiner Zopf ist eine Isotopieklasse von Homöomorphismen der Kreisscheibe $D$, die $n$ spezielle Punkte $P$ des Inneren Fix hält. Die Menge aller Zöpfe ist durch die Abbildungsklassengruppe gegeben: $\text{Mod}(D,P\cup \partial D)={\text{Homeo}}^{+}(D,P\cup \partial D)/{\text{Homeo}}_0^{+}(D,P\cup \partial D)$

Eigenschaften

Verschlingung

Schließt man einen reinen Zopf, d.h. man verbindet Start und End-Punkte, erhält man eine Verschlingung mit $n$ Komponenten

Verschlingungszahl

Sei $B$ ein Reiner Zopf. Dieser definiert eine Verschlingungszahl. Die Verschlingungszahl zweier Stränge $i$ und $j$ errechnet sich durch die Summe der vorzeichenbehafteten Überkreuzungen mal $1/2$.

Erhält Ordnung

Jeder Reiner Zopf ist ein Ordnungserhaltender Zopf. Insbesondere ist ${\sigma }_i^2$ Ordnungserhaltend.

Exakte Sequenzen

Entfernt man den $n+1$-ten Faden eines Zopfes erhält man eine Projektion, die Teil einer gespaltenen exakten Sequenz ist. $1\to F_n\to P{B}_{n+1}\to P{B}_n\to 1$ Die Gruppe $F_n$ entsteht durch das HeruewiczTurningNumbersPeriodic2013]] Eiko lit_misiurewiczTurningNumbersPeriodic2013 lit_BasicResultsBraid