Jacobi-Symbol

Beschreibung

Das Jacobisymbol ist eine Verallgemeinerung von Legendre-Symbol. Sie erlaubt es, das Legendre-Symbol modulo Nicht-Primzahl zu definieren. Damit sollen Rechnungen, besonders welche mit dem Quadratisches Reziprozitätsgesetz erleichtert werden.

Definition

Sei $n\in \mathbb{N}$ ungerade und $n=p_1\cdot ...\cdot p_r$ die Primfaktorzerlegung von $n$, wobei wir auch das mehrfache Auftreten derselben Primzahl zulassen. Sei $a\in \mathbb{Z}$. Dann ist das Jacobi-Symbol von $a$ modulo $n$ definiert durch $\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{a}{p_1}\right)\left(\frac{a}{p_2}\right)...\left(\frac{a}{p_r}\right)$

Eigenschaften

Nichtangabe des Quadratischen Rests

Durch das Jacobi-Symbol kann die Information über den Quadratischen Rest verloren gehen. $\left(\frac{2}{15}\right)=1$, obwohl $2$ kein Quadratischer Rest modulo $15$ ist.