Diverse Sätze zu Analytischen Integralen

Beschreibung

Langsam werden es immer mehr von diesen Sätzen. Diese werden hier alle zusammengefasst.

Residuensatz

Sehe Residuensatz

Zählen von Nullstellen

Sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen
• $f:U\to \mathbb{C}$ auf keiner Zusammenhangskomponente von $U$ konstant $0$
• $N:=\{z\in U:f(z)=0\}$ ist die Menge der Nullstellen von $f$
• $\gamma :[0,1]\to U$ nullhomolog in $U$ mit $Spur(\gamma )\cap N=\varnothing$

Dann ist $\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i\sum _{a\in N}n(\gamma ,a)\omega (f,a)$¹

Das hat nicht wirklich mit Residuen zu tun, der Satz ieht aber ganz ähnlich aus, deshalb ist er hier drin.

Polynomquotient

Seien

• $p,q\in \mathbb{C}[X]$ Polynome
• $q$ habe auf $\mathbb{R}$ keine Nullstelle und der Grad von $q$ sei um mindestens 2 größer als der von $p$.

Dann ist $\frac{p}{q}{|}_{\mathbb{R}}\in L^1(\mathbb{R})$ und es gilt: $\underset{\mathbb{R}}{\int }\frac{p(x)}{q(x)}=2\pi i{\sum }_{Imz>0}Res(\frac{p}{q},z)$²

Reelles Integral I

Sei

• $S\subseteq \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ eine endliche Menge
• $f:\mathbb{C}\backslash S\to \mathbb{C}$ analytisch mit $\underset{|z|\to \infty }{\lim }|f(z)|=0$
• $a\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$
• $g:\begin{array}{rcl}\mathbb{C}\backslash S& \to & \mathbb{C}\\ z& \mapsto & f(z)e^{iaz}\end{array}$

Dann gilt: \lim\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)e^{iax} dx = \begin{cases} 2\pi i \sum_\limits{Im (z)>0} Res(g, z) & \text{für } a>0 \\ -2\pi i \sum_\limits{Im (z)>0} Res(g, z) & \text{für } a<0 \end{cases}

Footnotes

1. Zenk - Lemma 23.4.1 ↩

2. Zenk - Lemma 23.5.1 ↩