Description

Bei einer Conservation law ist die Richtung der größten Steigung von senkrecht zur Phasengeschwindigkeit einer Autonome Lipschitzst. DGL.

Will man also eine Erhaltungsgröße erzeugen, dann kann man die Phasengeschwindigkeit an jeder Stelle um 90 Grad drehen. Mit einem Gleichungssystem findet man dann die Funktion, dessen Steigung genau die um 90 Grad gedrehte Phasengeschwindigkeit ist.

Diese Funktion Gleichungen ist die Hamiltonfunktion. Jede Hamiltonfunktion ist eine Conservation law.

Definition

Seien ein offener und zusammenhängender Raum von Zuständen mit gerader Dimension. Wir betrachten die Autonomous ODE Schreibe Punkte/Zustände aus in der Form . Ein mit \begin{align} q_j' &= \frac{\partial H}{\partial p_j} \\ p_j' &= -\frac{\partial H}{\partial q_j} \end{align} heißt System der kanonischen Hamiltongleichungen, H heißt Hamiltonfunktion

This looks like it has some obvious connection to Exact differential equation. May be they are the same but in exact systems the two different coordinates are given by the coefficients ?

If we want to check, whether a system admits a hamiltonian, we can use this characterisation. This is due to the Schwarzsches Lemma

Integrability condition

Let the system be as above. Let it be defined on a simply connected domain . There is a hamiltonian i.f.f.

This follows from Schwarz thingy.

Properties

Examples

In most cases the equations will be -dimensional. So it might be useful, to give a definition in two dimensions.

Definition

Let and let be an Autonomous ODE. A function is called a hamiltonian if Where denotes the Gradient.

Intuitively, a function, whose descent is perpendicular and proportional, to the Flow.