Komplexer Limes

Beschreibung

Der komplexe Limit ist der erste Schritt dazu, eine Analytische Funktion auf die Riemannsche Zahlensphäre zu verallgemeinern.

Definition

Es sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen und nicht beschränkt
• $b\in \mathbb{C}$
• $f:U\to \mathbb{C}$

Dann setzt man $\underset{z\in U}{\underset{t\to \infty }{\lim }}f(z)=b$ wenn es zu jeder Umgebung $V$ von $b$ einen Radius $R(V)>0$ gibt, sodass für alle $z\in U$ mit $|z|\ge R(V)$ gilt: $f(z)\in V$

Dieser Satz impliziert irgendwie, dass komplexe Funktionen in alle Richtungen gegen den gleichen Wert konvergieren, dachte ich. Aber das ist nur dann der Fall wenn $U=\mathbb{C}$