Abgeschlosse Menge

Charakterisierende Eigenschaften

Eigenschaft 1

Es sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen
• $S\subseteq U$ besitze keinen Häufungspunkt in $U$

Dann ist $S$ abgeschlossen in der Relativtopologie von $U$

Außerdem ist

• Für jedes $s\in S$ ist $\{S\}$ offen und abgeschlossen un der Relativtopologie von $S$
• Für jede Kompakte Menge $K\subset U$ ist $K\cap S$ eine endliche Menge.¹

Ich wusste nicht, wo ich das Lemma hinpacken sollte. Es kommt vom Residuensatz. Ich kann mir gut vorstellen, dass die Eigenschaft nicht nur für $\mathbb{C}$ gilt. Müsste man aber beweisen…

Footnotes

1. Zenk - Lemma 23.2.1 ↩