Holomorphe Abbildung (Riemannsche Fläche)

Beschreibung

Diese Art von Holomorphen Funktionen verallgemeinern die übliche Holomorphe Funktion.

Die neuen Holomophen Funktionen sind Funktionen die auf einer Riemannsche Fläche komplex differenzierbar sind.

Definition

Es seien

• $X$ und $Y$ Riemannsche Flächen.
• $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung

$f$ ist holomorph, wenn für jedes Paar von Karten $\phi :U_X\to U_Y$ von $X$ und $\psi :U_Y\to V_Y$ von $Y$ mit $f(U_X)\subseteq U_Y$ die Abbildung $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:V_X\to V_Y$ holomorph ist.

Biholomorphie

Siehe Biholomorphe Funktion

Charaktierisierende Eigenschaften

Charakterisierende Eigenschaft I

Es seien

• $X$ und $Y$ Riemannsche Flächen.
• $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung

$f$ ist genau dann holomorph, wenn es für jedes $x\in X$ eine Karte ${\phi }_x:U_x\to V_x$ um $x$ und eine Karte ${\psi }_{f(x)}:U_{f(x)}\to V_{f(x)}$ um $f(x)$ mit $f(U_x)\subseteq U_{f(x)}$ gibt, sodass$\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:V_X\to V_Y$ holomorph ist.

Eigenschaften

Offenheit

Ist $f:X\to Y$ holomorph und nicht konstant, dann ist $f$ eine Offene Abbildung

Beispiele

Meromorphe Erweiterung

Es sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$
• $f:U\backslash P(f)\to \mathbb{C}$ meromorph

Dann ist

z & \mapsto & \begin{cases} f(z) & \text{für } z \in U \backslash P(f) \\ \infty & \text{für } z\in P(f) \end{cases}\end{array}$$ eine **holomorphe Funktion**, wenn man $U$ und $\hat{\mathbb{C}}$ als Riemannsche Flächen auffasst.[^1] [^1]: Zenk - Lemma 24.3.5