Description
Die Quasi-Isometrie ist sozusagen die surjektive Form der Quasi-isometric embedding. Sie ist eine schwächere Form der Bi-Lipschitzäquivalenz.
Sie bildet eine Äquivalenzrelation auf metrischen Räumen, um deren Ähnlichkeit zu beschreibn.
Definition
Seien und metrische Räume. Ein Quasi-isometric embedding heißt eine Quasi-Isometrie, wenn sie zusätzlich “grob surjektiv” ist, d.h. .
Properties
Definition
Invariant gegenüber Produkten mit endlichen Gruppen Ist eine Endlich Erzeugte Gruppe und besitzt eine Subgroup mit endlichem Index (Gruppe), so sind beide Gruppen quasi-isometrisch
Ist ein endlicher Normal subgroup von , so sind und quasi-isometrisch.
Beweis: Der erste obere Satz: hat endlichen Index , d.h. es hat nur Nebenklasse. Im Cayley-Graph ist daher jedes Element in den Nebenklassen durch maximal Schritte von einem Element aus zu erreichen. Die Operation von auf dem Graphen ist somit kokompakt und nach Prüfung aller anderen Voraussetzungen können wir das Milnor-Schwarz Lemma benutzen.
Der zweite Satz hat eine unendliche Faktorgruppe . Wählen wir ein Element aus jeder Nebenklasse der Faktorgruppe , so brauchen wir höchstens Schritte im Cayley-Graphen, um alle anderen Elemente zu erreichen. Man kann nun einfach irgendwie die Faktorgruppe auf operieren lassen und wir erhalten eine kokompakte Operation.
Examples
Abrundenfunktion
Die Funktion , die jede Zahl abrundet ist eine Quasi-Isometrische Einbettung.
Die Parameter sind
Komposition
Die Komposition von zwei Quasi-Isometrien ist wieder eine Quasi-Isometrie. Die Toleranzen müssen bei der Komposition aber nicht die gleichen sein.
Rauschfunktion
Die Funktion , die auf abbildet, wobei die -te Ziffer von in Dezimalschreibweise ist. Dadurch soll ein Rauschen erzeugt werden.
Die Paramater sind
Etwas schwieriger zu erkennen
Sei Ich verstehe immer noch nicht, warum diese hier quasi-isometrisch sein sollte.
\newcommand{\R}{\mathbb R}