Kleben von Zöpfen

Beschreibung

Unterm Kleben von Zöpfen verstehen wir eine Operation, bei der wir zwei Kreisscheiben, auf denen Zöpfe wirken zusammenkleben und dann die Zöpfe gleichzeitig ausführen. Dieses Kleben ist noch nicht ganz ausgearbeitet, ich und Eiko arbeiten an einer Formalisierung.

Ausarbeitung

Im folgenden soll das Kleben von Zöpfen aus einem Beispiel verallgemeinert werden. Betrachte das Beispiel unten (Kleben zweier ${\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2^2$). Hier nehmen wir zwei Kopien eines $3$-Zopfes und verkleben diese so, dass ${\sigma }_2^2$ des $3$-Zopf auf ${\sigma }_2$ des $4$-Zopf abgebildet wird.

Verallgemeinerung 1 (Verkleben beliebiger Generatoren) Statt an der letzten Punktierung aufzuschneiden, können wir auch an einer inneren Punktierung aufschneiden. Füllen wir den mittleren Punkt aus und beschriften die Punkte gegen den Uhrzeigersinn neu, d.h. $1=p(1),2=p(2),3=p(1^{\prime }),4=p(2^{\prime })$, so erhalten wir einen Zopfhomomorphismus auf der freien Zopfuntergruppe, generiert durch ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ welche gegeben ist durch ${\sigma }_1^2\mapsto {\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1^{-1}$ und ${\sigma }_2^2\mapsto {\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_2^{-1}$. Wir prüfen die Dilatation für das Beispiel ${\sigma }_1^{-2}{\sigma }_2^4$ und erhalten ${\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1^{-1}({\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_2^{-1}{)}^2$ jeweils mit einer Dilatation von $9.89898$.

Verkleben von zwei verschiedenen Zöpfen Wir wollen nun das obere Vorgehen für den Fall verallgemeinern, in dem wir zwei verschiedene Zöpfe verwenden. Wir betrachten die exemplarischen Zöpfe ${\beta }_1={\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2^2$ und ${\beta }_2={\sigma }_1^{-2}{\sigma }_2^2$, diese wollen wir rechts verkleben.. Die beiden ${\sigma }_2^2$ sollen weiterhin gleichzeitig ausgeführt werden. Wir betrachten die Regionen $A_1,B_1,A_2,B_2$. Nun trennen wir die Zöpfe auf in einen Teil $a_i$, der vollständig in $A_i$ geschieht und alles außerhalb fix lässt und einen Teil $b_i$, der vollständig in $B_i$ geschieht. D.h. ${\beta }_1=b_1{a}_1=({\sigma }_1^{-1})({\sigma }_2^{-2})$ und ${\beta }_2=b_2{a}_2=({\sigma }_1^{-2})({\sigma }_2^{-2})$. Betrachte nun den Quotienten $D_5$, den man erhält, indem wir die beiden Kopien von $D_3$ verkleben. Die ursprünglichen Regionen werden zu den Regionen $\tilde{A},{\tilde{B}}_1,{\tilde{B}}_2$. $\tilde{A}$ ist hierbei eine doppelte Überlagerung von $A_i$. Da $a_i$ auf außerhalb von $A_i$ die Identität ist, gibt es eine Fortsetzung $\tilde{a}$ von $a_i$ auf $D_5$ Da $b_i$ außerhalb $B_i$ die Identität ist, gibt es eine Fortsetzung ${\tilde{b}}_i$von $b_i$ auf $D_5$. Wie im letzten Beispiel wird der mittlere Punkt fix gelassen, induzieren ${\beta }_1,{\beta }_2$ einen $4$-Zopf, beschrieben durch: ${\sigma }_1^{-1}{\sigma }_3^{-1}{\sigma }_2$. Da ${\beta }_1,{\beta }_2$ unterschiedliche Dilatationen haben, ist anzunehmen, dass der neue Zopf eine neue Dilatation besitzt.

An zwei verschiedenen Punkten verkleben

Zwischen zwei Punkten schneiden

Definition

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiele

Beispiel: Kleben zweier ${\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2^2$

Betrachte den Zopf $\beta ={\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2^2$. Dieser wirkt auf der dreifach durchbohrten Kreisscheibe $D_3$ (besteht aus nebeneinanderliegenden Bohrungen $1,2,3$). Wir schneiden nun die Kreisscheibe auf, indem wir von $3$ einen waagrechten Strich zum rechten Rand entfernen. Dies erlaubt uns nun eine Doppelte Überlagerung zu bilden, (welche als Zusammenkleben von $D_3$ mit sich selbst verstanden werden kann). Wenn wir die Bohrungen ausfüllen, können wir die Wirkung des Zopfes als eine Homotopie interpretieren, die die Bohrungen permutiert. Als solche besitzt sie eine eindeutige Fortsetzung auf die Überlagerung.

Da $\beta$ ein Pseudo-Anosovscher Zopf ist, erhält sie zwei transversale Blätterungen. Diese Blätterungen lassen sich auf die Überlagerung fortsetzen, wodurch wir eine Pseudo-Anosovschen Zopf auf der Doppelten Überlagerung (homöomorph zu $D_5$) erhalten. Dieser Homöomorphismus lässt sich beschreiben durch ${\sigma }_1^{-1}{\sigma }_4^{-1}({\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_2)$. Da die Bohrung $3$ durch diesen Zopf fixiert wird, kann sie entfernt werden. Wir erhalten dadurch den Zopf ${\sigma }_1^{-1}{\sigma }_3^{-1}{\sigma }_2$ auf $D_4$.

Allgemein lässt sich dieser Prozess verallgemeinern: Für $\beta ={\sigma }_1^{-m}{\sigma }_2^{2n}$ erhalten wir den Zopf ${\sigma }_1^{-m}{\sigma }_3^{-m}{\sigma }_2^n$. Dieser Zopf hat die gleiche Dynamik und die gleiche Dilatation. Beispielsweise ${\sigma }_1^{-3}{\sigma }_2^4$ und ${\sigma }_1^{-3}{\sigma }_3^{-3}{\sigma }_2^2$ mit Dilatation $13.92820$