Ganze Zahlen

Definition

Jede Zahl aus $\mathbb{Z}$ kann als eine Differenz von zwei natürlichen Zahlen beschrieben werden.

Es gibt aber mehrere Möglichkeiten -2 als Diferenz zu schreiben (3-5), (6-8). Die Einsicht, dass diese Möglichkeiten äquivalent sind führt uns zur Definition der Ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen: $\mathbb{Z}:=({\mathbb{N}}_0\times {\mathbb{N}}_0)/\sim$ zur Äquivalenzrelation: $(a,b)\sim (c,d)⟺a+d=b+c$

Addition der Ganzen Zahlen

Die Addition ist so definiert: $[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]$

Multiplikation der Ganzen Zahlen

Das Produkt ist so definiert: $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(a\cot c+b+\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)]$

Eigenschaften

Rechengesetze

Gilt die Kommutativität bei den Natürlichen Zahlen, so ist auch die obere Addition und Multiplikation offensichtlich kommutativ.

Das Assoziativ und das Distributivgesetz ist ebenfalls leicht festzustellen.