Identitity theorem

Description

Dank des Identitätssatzes reicht schon die Gleichheit zweier analytischer Funktionen auf einem start eingeschränkten Bereich, um die Gleichheit auf größeren Definitionsbereichen zu zeigen.

Definition Komplexe Zahlen Zenk

Sei $U$ ein Gebiet, $f:U\to \mathbb{C}$ und $g:U\to \mathbb{C}$ analytisch. Dann sind äquivalent:

• $f=g$
• Die Menge $\{z\in U:f(z)=g(z)\}$ hat einen Häufungspunkt, der in $U$ liegt.
• Es gibt einen Punkt $\xi \in U$, sodass $f^{(n)}(\xi )=g^{(n)}(\xi )$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt D.h. die Ableitung ist beider Funktionen ist gleich[^1]

Definition Riemannsche Flächen

Seien $X$ und $Y$ Riemannsche Flächen $f:X\to Y$ und $f:X\to Y$ Holomorphe Funktionen. Dann sind äquivalent:

• $f=g$
• Die Menge $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$ hat einen Häufungspunkt, der in $U$ liegt.[^3]

Properties

Isoliertheit der Nullstellen

Diese Eigenschaft ist ein Spezialfall des Identitätssatzes. Sei $f:U\to \mathbb{C}$ mit $f\ne 0$ analytisch. Dann gibt es für jeden Punkt $a\in U$ einen Radius $r$, sodass für alle Werte $z\in K(a,r)\backslash \{a\}$ gilt $f(z)\ne 0$ D.h. Die Nullstellen liegen nicht dicht

Gleichheit auf offenen Mengen

• Sind $f$ und $g$ of einer nichtleeren offenen Einschränkung gleich, dann gilt $f=g$