Quadraturformel

Beschreibung

Die Quadraturformel ist eine Verallgemeinerung der Riemannsumme

Definition

Wir bezeichnen $I_n:R[a,b]\to \mathbb{R},I_n(f)=(b-a){\sum }_{i=0}^n{\sigma }_{i}f(x_i)$ als Quadraturformel zu den verschiedenen Stützstellen $x_0,...,x_n\in [a,b]$ mit Gewichten ${\sigma }_0,...,{\sigma }_n,n\in {\mathbb{N}}_0$

Eigenschaften

Lineares Funktional zu Funktion

Jede Quadraturformel ist ein lineares Funktional auf $R[a,b]$

Vektorraum

Die Quadraturformeln auf $R[a,b]$ bilden einen reellen Vektorraum mit Basis $\mathcal{B}[a,b]=\text{ges}{\alpha }_x:x\in [a,b],{\alpha }_x:[a,b]\to \mathbb{R},{\alpha }_x(f)=f(x)$

Die Art wie hier Funktionen entgegengenommen werden und dann Funktionswerte eingesetzt werden, riecht mir sehr dual

Operatornorm

Es mag ein bisschen komisch sein, eine Operatornorm zu definieren. Da jedoch $C[a,b]$ einen durch $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ Vektorraum bildet und $I_n$ Werte davin auf $\mathbb{R}$ abbildet, ist so etwas vollkommen möglich. Sei $I_n:C[a,b]\to \mathbb{R},I_n(f)=(b-a){\sum }_{i=0}^n{\sigma }_{i}f(x_i)$ Eine Quadraturformel mit Stützpunkten $x_0,..,x_n$ und Gewichten ${\sigma }_0,...,{\sigma }_n$.

Die Operatornorm ist $\Vert I_n\Vert =(b-a){\sum }_{i=0}^n|{\sigma }_i|$

Satz von Polya

Siehe Satz von Polya