Gaußquadratur

Beschreibung

Wir beobachten, dass das Wählen von äquidistanten Stützpunkten, wie beispielsweise bei Newton-Cotes-Formeln macht, suboptimal ist. Wir benutzen einen neuen Algorithmus, mit dem wir die Stützpunkte optimaler wählen können.

Definition

Seien ${\lambda }_i\in [a,b]$ ie Nullstellen des $n$-ten Orthogonales Polynom bezüglich Skalarprodukt $\text{wink}\cdot ,\cdot$ und $L_1,...,L_n$ die Lagrangesches Basispolynom dazu, so heißt $I_n:R[a,b]\to \mathbb{R},I_n(f):={\sum }_{j=1}^n{\sigma }_{j}p({\lambda }_j)$ mit ${\sigma }_j:=\text{wink}{L}_j,\rho ={\int }_a^b{L}_j(x)\rho (x)dx$ die $n$-te Gaußsche Quadraturformel.

Q: Gewichte der Gaußquadratur A: ${\sigma }_j:=⟨L_j,1{⟩}_{\rho }={\int }_a^b{L}_j(x)\rho (x)dx$

Q: Gaußquadratur A: $I_n:R[a,b]\to \mathbb{R},I_n(f):={\sum }_{j=1}^n{\sigma }_{j}f({\lambda }_j)$

Eigenschaften

Genauigkeitsgrad

$I_n$ hat Genauigkeitsgrad $r=2n-1$. d.h. $\text{wink}p,1={\sum }_{j=1}^n{\sigma }_{j}p({\lambda }_j)$ Das ist das beste, was man mit einer Quadraturformel von Grad $n$ erreichen kann.

DIe Umkehrung gilt auch: Hat eine Interpolation Genauigkeitsgrad $2n-1$, so muss es die Gaußquadratur sein mit genau den Stützstellen sein.

Q: Genauigkeitsgrad der Gaußschen Quadraturformel $I_n$ A: $r=2n-1$

Interpolatorische Quadraturformel

Für eine Gewichtsfunktion $\rho \equiv 1$ gibt die Definition der Gaußquadratur explizit an, dass es sich hier um eine Interpolatorische Quadraturformel handelt.

Umkehrung

Die Umkehrung der Definition gilt auch. Hat

Grenzwert für höhere Interpolationen

Es gilt ${\lim }_{n\to \infty }{I}_n(f)={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx$

Fehlerabschätzung

Sei $p_n$ das $n$-te Orthogonales Polynom bezüglich Skalarprodukt. Dann gilt für $f\in C^{2n}[a,b]$ die Fehlerabschätzung: ${\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx-I_n(f)=\frac{f^{(2n)}(\tau )}{(2n)!}⟨p_n,p_n⟩=\frac{f^{(2n)(\tau )}}{(2n)!}{\int }_a^b{p}_n^2(x)\rho (x)$ und $|p_n(x)|\le (b-a{)}^n$

Q: Fehlerabschätzung der Gaußquadratur A: ${\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx-I_n(f)=\frac{f^{(2n)}(\tau )}{(2n)!}⟨p_n,p_n⟩$

Vorgehen

Praktische Berechnung der Quadraturen

Im Allgemeinen führt man durch Reparametrisierung alle Rechnungen auf das Intervall $[-1,1]$ zurück. Für dieses Inverall tabelliert man die Stützpunkte. Die Stützpunkte berechnet man nur dann neu, wenn man ein unbekanntes $n$ oder $\rho$ nutzen muss.

Summierte Quadraturformeln

Mann kann Strategien der Summierte Quadraturformel verwenden, um eine Summierte Gaußquadratur zu erhalten