Zellkomplex

Beschreibung

Der Zellkomplex (auch CW-Komplex) ist eine Verallgemeinerung der Glatte Triangulation in dem Sinne, dass es Zellen statt Simplex erlaubt.

Ein typisches Beispiel ist eine Triangulation der Sphäre $S^2$. Diese ist eine Vereinigung von vielen Dreiecken, die zusammen eine Fläche ergeben, die homöomorph zu $S^2$ ist. Wir nennen dies einen $2$-Zellkomplex. Das Interessante ist, dass wir nun das Innere der Dreiecke entfernen können. Übrig bleibt eine Menge von eindimensionalen Segmenten. Diese bilden einen $1$-Zellkomplex. Zuletzt können wir auch das Innere der Segmente entfernen und es bleibt eine diskrete Punktewolke übrig, ein $0$-Zellkomplex. Zellkomplexe sind also durch eine Rekursive Definition charakterisiert.

Definition

Ein Zellkomplex wird definiert durch eine Vereinigung von topologischen Räumen $\varnothing =X_{-1}\subseteq X_0\subseteq X_1\subseteq ...$, sodass jedes $X_k$ aus $X_{k-1}$ erhalten wird, indem man Kopien von $k$-Zellen durch Klebeabbildungen $g^k:\partial e^k\to X_{k-1}$ einklebt. Jedes $X_k$ wird das $k$-Skelett des Zellkomplexes genannt. Die Topologie ist stückweise durch Betrachtung der Zellen definiert.

Wikipedia zufolge haben Zellkomplexe irgendetwas mit dem Direktes Limit der Kategorientheorie zu tun.

Beispiele

Graph

Die $1$-dimensionalen Zellkomplexe sind genau die Graphen.

Sphäre (Definition 1)

Die Sphären bestehen aus einer $n$-dimensionalen Zelle, dessen Rand ein Punkt ist. D.h. $S^n=e^n\cup e^0$.

Sphäre (Definition 2)

Die $n$-Sphären ergeben sich aus der $n-1$-Sphäre durch Ankleben einer oberen und einer unteren Hemisphäre $\sim D^n$. Durch unendliche Iteration lässt sich die $\infty$-Sphäre definieren.

Projektiver Raum

Der Projektiver Raum kann als eine Hemisphäre interpretiert werden, an dessen Rand gegenüberliegende Punkt identifiziert werden. Man erhält den $n$-dimensionalen projektiven Raum also aus dem $n-1$-dimensionalen projektiven Raum durch einfügen eines $n$-Simplex $e^n$. $\mathbb{R}{P}^n=e^0\cup e^1\cup ...\cup e^n$ Dies erlaubt, den unendlichen projektiven Raum $\mathbb{R}{P}^{\infty }={\bigcup }_{n\in \mathbb{N}}{e}^n$ zu definieren.

Ich mag den komplexen projektiven Raum nicht so sehr. Um ein bisschen Übung zu bekommen, beschreibe ich vielleicht trotzdem, wie man den als Zellkomplex beschreiben kann.

Komplexer Projektiver Raum

Der Komplexer Projektiver Raum $\mathbb{C}{P}^n$ soll im folgenden ähnlich induktiv definiert werden. Wir normieren jedes Element von ${\mathbb{C}}^n$, sodass es Betrag $1$ hat. Dann multiplizieren wir jedes Element mit einer komplexen Zahl sodass die letzte komplexe Koordinate reell und positiv ist. Dadurch hat die letzte komplexe Kordinate keine Bewegungfreiheit mehr und die Punkte, deren letzte Koordinate nicht $0$ ist, bilden eine Hemisphäre $D^{2n}$. Der Rand $S^{2n-1}$ dieser Hemisphäre lässt nun das gleiche iterative Vorgehen zu (jedes Element kann so normiert werden, dass die vorletzte Koordinate reell und positiv ist). Der komplexe Projektive Raum $\mathbb{C}{P}^n$ geht also durch das ankleben von $D^{2n}$ an $\mathbb{C}{P}^{n-1}$ hervor. In Folge gilt: $\mathbb{C}{P}^n=e^0\cup ...\cup e^2\cup ...\cup e^{2n}$

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