Positive Halbdrehung

Beschreibung

Man stelle sich einen trivialen Zopf vor. Wir nehmen nun alle Stränge und drehen die eine Seite mathematisch positiv um eine halbe Drehung. Diese Operation bezeichnen wir als eine Positive Halbdrehung

Definition

Die Positive Halbdrehung einer Braid group auf $n$ Strängen ist das Element ${\Delta }_n=({\sigma }_{n-1}...{\sigma }_1)({\sigma }_{n-1}...{\sigma }_2)...({\sigma }_{n-1}{\sigma }_{n-2})({\sigma }_{n-1})$ Lange auf oberes Gruppenelement zu starren hilft, die Operation zu verstehen

Eigenschaften

Halb-Kommutativität

Es gilt ${\sigma }_i{\Delta }_n={\Delta }_n{\sigma }_{n-i}$

Kommutativität der Volldrehung

Aus oberer Eigenschaft folgt direkt ${\sigma }_i{\Delta }_n^2={\Delta }_n^2{\sigma }_i$. Die Positive Volldrehung liegt also im Zentrum (Gruppe) der Zopfgruppe.

$ggT$ der Präfix-Ordnung

In der Präfix-Ordnung (Zopf) der positiven Zöpfe ist $\Delta ={\sigma }_1\vee ...\vee {\sigma }_{n-1}$.

Bedingung für Ordnungserhaltung

Ist $n$ ungerade, so ist die Halbdrehung gleich einer Potenz von des Periodischer Zopf $ϵ$ und ordnungserhaltens. Ist $n$ gerade, so ist die Halbdrehung gleich einer Potez von $\delta$ und nicht ordnungserhaltend.

lit_thiffeaultBraidsDynamics2022