Beschreibung
Wie unterscheidet man, ob eine Vektorenmenge ein Spat mit positivem oder negativem Volumen aufspannen? Am einfachsten, man nutzt hierfür die Orientierung.
Herleitung
Bezeichne mit den Raum von geordneten Basen von einem Vektorraum .
Dieser Raum liegt dicht in , denn einzig die linear abhängigen Vektortupel fehlern in .
Eine Alternierende Form ist genau dann , wenn die -Vektorren linear abhängig sind. Da alternierende Formen stetig sind, besteht aus mindestens zwei Zusammenhangskompente. Eine bestehend nur aus Vektoren mit positivem und andere mit negativem .
Man kann durch stetiges Verzerren der Basis zeigen, dass es genau zwei Zusammenhangskomponenten sind.
Definition
Der Raum aller Basen zerfällt in zwei Zusammenhangskomponenten. Das Wählen einer Orientierung ist die Zuordnung eines zu den jeweiligen Zusammenhangskomponenten.
Ein Vektorraum, für den eine Orientierung gewählt wurde, wir orientiert genannt.
Orientierung einer Basis
Eine Basis definiert auf natürliche Weise eine Orientierung. Wir nennen die Zusammenhangskomponente, in der die Basis liegt positiv.