Mittelwertsatz für dividierte Differenzen

Beschreibung

Definition

Sei $x\in [a,b]$ und $m:=\min \{x,x_0,...,x_n\}$, $m:=\max \{x,x_0,...,x_n\}$.

Wenn $g\in C^{n+1}[a,b]$, dann gibt es ein $\xi \in [m,M]$, sodass $[g\mid x,x_0,...,x_n]=\frac{g^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$

Als Konsequenz kann man den Fehler einer Hermite Interpolation $p(x)$ folgendermaßen beschreiben: $g(x)=p(x)+\frac{g^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x)$

Wobei ${\omega }_{n+1}(x)={\prod }_{i=0}^n(x-x_0)$.

Man weiß $\xi \in [m,M]$. Damit kann man für den oberen Fehler eine Abschätzung finden.

Q: Was ist der Fehler einer Hermiten Interpolation $p(x)$ A: $g(x)=p(x)+\frac{g^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x)$ Wobei ${\omega }_{n+1}(x)={\prod }_{i=0}^n(x-x_0)$ und $\xi$ ein Wert zwischen dem minimalen und maximalen Stützpunkt.1

Eigenschaften