Max-Plus-Algebra

Beschreibung

Die Max-Plus-Algebra ist eine lustige Struktur, die aussieht wie eine Algebra, bei der das Plus die Rolle der Multiplikation einnimmt.

Definition

Wir definieren auf der Menge $\mathbb{R}\cup \mathbb{O}$ mit $\mathbb{O}=-\infty$ auf folgende Weise eine Algebra: $x\oplus y=\max (x,y),x\otimes y=x+y$

Doppelklammern

Es ist üblich Doppelklammern und normale Plus/Mal-Symbole zu verwenden, wenn man etwas in der Max-Plus-Algebra benutzen will Beispielsweise:

• $x\oplus y=\text{dklam}x+y$
• $x\otimes y=\text{dklam}xy$
• $0=\text{dklam}1$
• $\text{dklam}x/y=x-y$

Eigenschaften

$\mathbb{O}$ als Nullelement

In unserer Algebra, verhält sich $\mathbb{O}$ wie die Null, denn es gilt $x\oplus \mathbb{O}=x$ und $x\otimes \mathbb{O}=\mathbb{O}$.

$\mathbb{I}=0$ als Einselement

Wie oben ist, $0$ diesmal das Einselement.

Idempotenz der Addition

Es gilt $x\oplus x=x$

Existenz eines Multiplikativen Inversen

Es gilt $x\otimes (-x)=x-x=0=\mathbb{I}$

Nicht-Existenz eines Additiven Inversen

Es gibt kein Additives Inverses

$

Diff}{Diff}$

lit_thiffeaultBraidsDynamics2022