Prime element

Description

The prime elements are one of two ways (the second being Irreduzibles Element) to generalise a prime number to other Rings. Only in a Faktorring they are the same. Furthermore in an integral domain every prime element is irreducible

In an integral domain the prime elements correspond exactly with Prime ideals.

Definition

Sei $R$ ein Commutative Ring. Ein Element $p\in R$ heißt Primelement, wenn $p$ weder eine Einheit noch Null ist und außerdem die Implikation $p|ab⟹p|a\text{ oder }p|b$ für alle $a,b\in R$ erfüllt ist.

Properties

Relationship to prime ideals

Sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R,p\ne 0_R$. Genau dann ist $p$ ein Primelement, wenn

• das Two-sided Principal ideal $(p)$ ein Prime ideal ist.

Irreducability

In jedem Integral domain ist jedes Primelement irreduzibel.

Charakterisierung

In Hauptidealring

Sei $R$ ein Principal Ideal Domain aber kein Körper und $p\in R$. $p$ ist genau dann prim, wenn

• $p$ ist irreduzibel ODER
• Das Two-sided Ideal $(p)$ ist maximal ODER
• Das Ideal $(p)$ ist ein Prime ideal und es gilt $p\ne 0$[^3]