Eigentlich Diskontinuierliche und freie Gruppenoperation

Beschreibung

Eine Eigentliche Diskontinuierliche und freie Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation, die in gewisser Weise eine untrennbare Kombination aus der Eigentlich Diskontinuierliche Gruppenoperation und einer Freie Gruppenoperation ist.

Wir haben aber die Bedingung der Freien Gruppenoperation hier stärker gemacht.

Definition

Sei $G\circlearrowleft X$ eine Gruppenoperation auf einem Topologischer Raum. Wir nennen die Operation Eigentlich Diskontinuierlich und frei, wenn

1. es für alle $p\in X$ eine Umgebung $U$ gibt, sodass $U\cap gU=\varnothing$ für alle $g\ne e$
2. Für zwei Punkte $p,q\in M$ mit $Gp\cap Gq=\varnothing$ gibt es offene Umgebungen $U,V,p\in U,q\in V$ und $gU\cap V=\varnothing$ für alle $g\in G$ ($⟺gU\cap hV=\varnothing$)

Manche Definitionen enthalten nur das Kriterium i) Manche Definitionen nennen beide Kriterien zusammen Eigentlich Diskontinuierlich und Frei.

Eigenschaften

Hausdorff

Durch Kriterium 2) ist der Quotientenraum $X/G$ automatisch ein Hausdorffscher Topologischer Raum

Überlagerung

Wirkt eine Gruppe Eigentlich diskontinuierlich und frei auf einem topologischen Raum, so ist der Quotient eine Überlagerung.

Beispiele

Konfigurationsräume

Sei $M$ eine Topologische Mannigfaltigkeit. Betrachte nun den Konfigurationsraum von $n$ Punkten auf $M$. Dazu nehmen wir $M^n$ und entfernen $\Delta$ die “große Diagonale”, d.h. die Menge der Punkte, die irgendwo die gleichen Einträge haben. Dann lassen wir $G$ auf $M\backslash \Delta$ operieren. Diese Operation ist eigentlich diskontinuierlich.