Geodesic arc

Description

A geodesic arc (auch Segment oder Geodätisches Segment) is a Lokale Geodätische of finite length with two endpoints.

Definition

Das Segment zwischen zwei Punkten $p,q\in {\mathbb{R}}^2$ sind genau die Punkte $r\in {\mathbb{R}}^2$, sodass $d(p,r)+d(r,q)=d(p,q)$

Definition durch Einbettung

Sei $f:[a,b]\to X$ eine Isometrische Einbettung. Dann ist $f([a,b])$ eine Strecke.

Characterisation (Längenrealisierender Pfad)

Ein Segment wir Längenrealisierender Pfad genannt, da ein Segment ein wohldefinierter Weg ist, von einem Punkt zu einem anderen zu kommen.

Es muss keine längenrealisierende Pfade geben. Betrachte den Abstand von Punkten auf einer Kreisscheibe, bei der der Ursprung herausgenommen wurde. Dann gibt es keine Stecke zwischen gegenüberliegenden Punkten.

Das ist erfüllt wenn für eine Kurve $\gamma :[a,b]\to X$ gilt $l(\gamma )=d(\gamma (a),\gamma (b))$ oder $l(\gamma {|}_{[s,t]})=d(\gamma (s,\gamma (t)))$ für alle $s,t\in [a,b],s<t$.

Examples

Segment auf einer Koordinatenachse

Das Segment $S=\{(x,0),x\in [a,b]\}$ zwischen $(a,0)$ und $(b,0)$ ist genau die Teilmenge der ersten Koordinantenachse aller Punkte mit der Eigenschaft: $d(p,(a,0))+d(p,(b,0))=b-a$

\newcommand{\R}{\mathbb R}