Rechte Bowen-Franks Gruppe

Beschreibung

Die Rechte Bowen-Franks Gruppen sind eine weitere Invariante der shiftäquivalenz. Wir nennen sie rechts, weil das Polynom hier rechts an den Nenner multipliziert wird. Logischerweise gibt es noch eine linke Variante

Definition

Sei $R$ ein Kommutativer Ring (z.B. $\mathbb{Z}$ oder $\mathbb{Z}[t]$). Kommutative Ringe erlauben Summen, damit definieren $R$-Matrizen Homomorphismen auf $R^n$. Sei $p(x)\in R[x]$. Definiere die matrixwertige Funktion $p(A)=a_{0}I+a_{1}A+...+a_k{A}^k$. Sei nun $A$ eine Adjazenzmatrix und wähle $p(x)\in R[x]$ mit einem multiplikativ invertierbaren Element $a_0$ (z.B. $1$). Die Bowen-Franks Gruppe ist die additive Quotientengruppe $\frac{R^n}{R^{n}p(A)}$

Induzierter Automorphismus

Sei $A$ eine Matrix. Sie induziert einen Automorphismus $A_{\ast }:\frac{R^n}{p(A)R^n}\to \frac{R^n}{p(A)R^n}$ durch: $A_{\ast }:\frac{R^n}{R^{n}p(A)}\to \frac{R^n}{R^{n}p(A)},A_{\ast }(x+R^{n}p(A))=xA+R^{n}p(A)$

Die Notation $A_{\ast }$ wird verwendet, weil der Automorphismus der gleiche ist, wie der induzierte Automorphismus der Dimensionsgruppe.

Eigenschaften

Shiftäquivalenzinvariante

Seien $A,B$ shiftäquivalent. Dann sind die Frank-Bowen Gruppen $\frac{R^n}{p(A)R^n},\frac{R^n}{p(B)R^n}$ isomorph und die induzierten Automorphismen $A_{\ast },B_{\ast }$ sind zueinander durch einen Automorphismus konjugiert.