Satz von Fubini

Description

Der Satz von Fubini gibt Bedingungen unter denen eine Funktion über einem Produktraum integrierbar ist und unter denen der Satz von Tonelli anwendbar ist, d.h. als mehrere Eindimensionale Integrale gelöst werden darf.

For the Riemann-integral the theorem requires the function to be continuous on the preduct space.

Definition for the Riemann-Integral

Let $f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb{R}$ continuous. Then $F:[c,d]\to \mathbb{R}$ with $F(y):={\int }_a^{b}f(x,y)dx$ is continuous as well and we have ${\int }_c^{d}F(y)dy={\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy={\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dydx={\int }_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)d(x,y)$

The Lebesgue-integral only requires integrability.

Definition für das Lebesgue-Integral

Seien $({\Omega }_1,\mathcal{A},{\mu }_1)$ und $({\Omega }_2,{\mathcal{A}}_2,{\mu }_2)$ zwei $\sigma$-endliche Maßräume und $f:{\Omega }_1\times {\Omega }_2\to \mathbb{R}$ eine messbare Funktion, die bezüglich des Produktmaßes integrierbar ist, das heißt, es gelte ${\int }_{{\Omega }_1\times {\Omega }_2}|f|d({\mu }_1\otimes {\mu }_2)<\infty$

oder es gelte $f\ge 0$ fast überall.

Dann ist für fast alle $y$ die Funktion $x\mapsto f(x,y)$ und $y\mapsto f(x,y)$ integrierbar bzw. nichtnegativ. In diesem Fall ist die Integration ${\int }_{{\Omega }_1}f(x,y)d{\mu }_1(x)$ und analog für ${\Omega }_2$ möglich. Es gilt: ${\int }_{{\Omega }_1\times {\Omega }_2}fd({\mu }_1\otimes {\mu }_2)={\int }_{{\Omega }_2}{\int }_{{\Omega }_1}f(x,y)d{\mu }_1(x)d{\mu }_2(y)={\int }_{{\Omega }_1}{\int }_{{\Omega }_2}f(x,y)d{\mu }_2(y)d{\mu }_1(x)$

Properties