Satz von Fubini

Beschreibung

Der Satz von Fubini gibt ein Kriterium, wann ein Mehrdimensionales Integral als mehrere Eindimensionale Integrale gelöst werden darf.

Definition

Definition für das Lebesgue-Integral

Seien $({\Omega }_1,\mathcal{A},{\mu }_1)$ und $({\Omega }_2,{\mathcal{A}}_2,{\mu }_2)$ zwei $\sigma$-endliche Maßräume und $f:{\Omega }_1\times {\Omega }_2\to \mathbb{R}$ eine messbare Funktion, die bezüglich des Produktmaßes integrierbar ist, das heißt, es gelte ${\int }_{{\Omega }_1\times {\Omega }_2}|f|d({\mu }_1\otimes {\mu }_2)<\infty$

oder es gelte $f\ge 0$ fast überall.

Dann ist für fast alle $y$ die Funktion $x\mapsto f(x,y)$ und $y\mapsto f(x,y)$ integrierbar bzw. nichtnegativ. In diesem Fall ist die Integration ${\int }_{{\Omega }_1}f(x,y)d{\mu }_1(x)$ und analog für ${\Omega }_2$ möglich. Es gilt: ${\int }_{{\Omega }_1\times {\Omega }_2}fd({\mu }_1\otimes {\mu }_2)={\int }_{{\Omega }_2}{\int }_{{\Omega }_1}f(x,y)d{\mu }_1(x)d{\mu }_2(y)={\int }_{{\Omega }_1}{\int }_{{\Omega }_2}f(x,y)d{\mu }_2(y)d{\mu }_1(x)$

Eigenschaften