Description
When we map a topology on a new space this induces a topology on the new space, the quotient topology.
Definition
Seien ein Topological space und eine Surjektive Abbildung. Dann ist eine Topological space, die die Quotiententopologie genannt wird.
Properties
Theorem (Zweitabzählbarkeit und Hausdorff)
Die Quotiententopologie einer Zweitabzählbaren und Hausdorffschen Topologie muss selbst nicht eine der beiden Eigenschaften erfüllen. Ein Beispiel ist die Gerade mit zwei Nullen.
Theorem Voraussetzung für Zweitabzählbarkeit
Sei ein Zweitabzählbarer Raum. Sei ein Quotientenraum, induziert durch die Projektionsabbildung . Ist offen, so ist zweitabzählbar.
Die Zweitazählare Basis erhalten wir durch die Bilder der ursprünglichen Basis.
Examples
Non-Hausdorff quotient
Examine . This topology is homeomorphic to and therefore not hausdorff.