Konditionszahl

Beschreibung

Die Konditionszahl ist eine Zahl, mit der sich die Relative Kondition einer linearen Abbildung abschätzen lässt.

Definition

Für $A\in \mathcal{M}(n)$ definiert $\kappa (A):=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$ die Konditionszahl von $A$.

Q: Allgemeine Konditionszahl A: (\kappa(A) := |A||A^{-1}|)

Obacht: $\kappa (A)$ hängt von der verwendeten Matrixnorm ab. Wir bezeichnen mit ${\kappa }_2(A)$ die Konditionszahl gemessen mit der Spektralnorm und nennen sie die Spektrale Kondition

Eigenschaften

Zusammenhang mit Eigenwerten

Sei $A\in \mathcal{M}(n\text{K})$ invertierbar, dann gilt: ${\kappa }_2(A)=\sqrt{\frac{\max \sigma (A^{\ast }A)}{\min \sigma (A^{\ast }A)}}$

Q: Spektrale Kondition einer nicht-hermiteschen Matrix A: ${\kappa }_2(A)=\sqrt{\frac{\max |\sigma (A)|}{\min |\sigma (A)|}}$

Für Hermitesche Matrix $A$ vereinfacht sich das zu: ${\kappa }_2(A)=\frac{\max |\sigma (A)|}{\min |\sigma (A)|}$

Q: Spektrale Kondition einer hermiteschen Matrix A: ${\kappa }_2(A)=\frac{\max |\sigma (A)|}{\min |\sigma (A)|}$