Abgeleitete Folge

Beschreibung

Es ist möglich eine Fast Konstante Folge abzuleiten, indem Zeichenfolgen ersetzt werden. Das Ergebnis ist dann eine neue Abgeleitete Schnittfolge die Rückmeldung über die Struktur gibt.

Definition

Bei der Fast Konstante Folge gibt es ein $n\in \mathbb{N}$, sodass entweder $n$ oder $n+1$ $b$‘s zwischen zwei $a$ auftauchen (oder anders herum). Wir können damit folgende Substitution durchführen $a^{\prime }=a{b}^n,b^{\prime }=b$. Das gibt uns eine neue Schnittfolge.

Definition: Wiederholte Ableitung

Wir können wiederholt ableiten. Wir merken und dabei jedes mal den Exponenten $n$ und erhalten dadurch eine Folge der natürlichen Zahlen $n_0,n_1,n_2$.

Nach jeder Ableitung wechseln die Rollen von $a$ und $b$.

Eigenschaften

Intuition

Ist die Folge einer Schnittfolge einer Steigung $\theta$, so lässt sich die Ableitung lässt sich wie folgt interpretieren: Die Abbildung, die $a{b}^n$ auf $a^{\prime }$ abbildet ist äquivalent zu einer linearen Abbildung, die $(1,n_0)$ auf $(1,0)$ abbildet. Diese Abbildung bildet die Gerade auf eine Gerade ab, die mehr nach einer Horizontalen oder Vertikalen aussieht. Diese Prozedur lässt sich dann wiederholen, was uns eine Folge von Matrizen der Form gibt. ${\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n_0& 1\end{array}\right)}^{-1}{\left(\begin{array}{cc}1& n_1\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}...$ Die Matrix bildet im Limit die Gerade auf eine Horizontale bzw- Vertikale ab.

Eine andere Methode, sich das vorzustellen, ist dass die Matrizen das Gitter verschieben.

lit_seriesGeometryMarkoffNumbers1985