Lineare homogene Differenzengleichung

Beschreibung

Die Lineare Homogene Differenzengleichung ist das Analogon zur der lineare Homogenes Differentialgleichungssystem.

Definition

Eine Lineare Homogene Differenzengleichung hat die Form $a_{0}y(n+m)+a_{1}y(n+m-1)+...+a_{n}y(n)=0$

Das $n$ spielt hier die Rolle der (diskreten) Zeit.

Lösung

Wie bei linearen, homogenen Differentialgleichungssystem, lassen sich lineare homogene Differenzengleichungen durch ein Charakteristisches Polynom (DGL) lösen. Durch Einsetzen von $e^{mn}$ erhalten wir die charakteristische Gleichung: $a_0{r}^n+a_1^{n-1}+...+a_n=0$

Die Nullstellen des Polynoms sind Lösungen des Charakteristischen Polynoms. Hat ein Polynom eine $k$-fache Nullstelle $r$, so sind die Lösungen: $r^n,n{r}^n,...,n^k{r}^n$

Mithilfe der Startbedingungen kann man dann die eindeutige Lösung finden.

lit_hammingArtProbability2018