Dimensionsgruppe

Beschreibung

Die Dimensionsgruppe ist eine weitere Invariante der Shiftäquivalenz. Sie ist deshalb für mich interessant, weil sie sehr verschiedene Konzepte zusammenbringt.

Definition

Sei $A$ eine Quadratische Adjazenzmatrix. Wir definieren die Dimensionsgruppe von ${\Sigma }_A$ als das Direktes Limit einer wirkenden Matrix $Dim(A):=\underrightarrow{\lim }({\mathbb{Z}}^n,A)$ Es ist eine additive Gruppe und besitzt einen natürlich induzierten Automorphismus $A_{\ast }$.

Die Dimensionsgruppe ist in erster Linie eine additive Gruppe von Funktionen. Wir können allerdings die Gruppe auch geometrisch interpretieren:

Geometrische Charakterisierung

Sei $I_A^Q={\bigcup }_{r=0}^{\infty }({\mathbb{Q}}^n)A^r$ das eventuelle Bild von $A$ in ${\mathbb{Q}}^r$. $A$ ist auf $I_A^Q$ ein Automorphismus. Definiere nun ${\mathcal{D}}_A=\{x\in I_A^Q:x{A}^j\in {\mathbb{Z}}^n\text{ fu¨r ein }j\in \mathbb{N}\}$ Sei nun $A_{\ast }$ die Einschränkung von $A$ auf ${\mathcal{D}}_A$.

$Dim(A)$ ist isomorph zu ${\mathcal{D}}_A$ und die durch $A$ induzierten Automorphismen sind zueinander konjugiert.

Charakterisierung durch Rechte Bowen-Franks-Gruppe

Sei $A$ eine ganzzahlige Matrix. $\underrightarrow{\lim }({\mathbb{Z}}^n,A)$ ist isomorph zu der rechten Bowen-Franks Gruppe $\frac{(\mathbb{Z}[t]{)}^n}{(\mathbb{Z}[t]{)}^n(I_{t}A)}$. Die induzierten Automorphismen sind konjugiert.

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiele

Beidseitiger Shift $[2]$

Der Beidseitige Shift mit der Adjazenzmatrix $[2]$ hat $I_A^Q=\mathbb{Q}$ und ${\mathcal{D}}_A=\mathbb{Z}\left[\frac{1}{2}\right]$.

tchensSymbolicDynamicsOnesided2012]]