Hodge-Stern Operator

Beschreibung

Der Hodge-Stern-Operator ist so etwas wie das Komplement für die Multilineare Algebra. Mit ihm kann man beispielsweise zu einer Ebene im dreidimensionalen Raum den Normalvektor finden.

Definition

Sei ${\Lambda }^k{T}_p^{\ast }M$ die Äußere Potenz des Kotangentialraums. Für alle $k\le n$ sind die Vektorräume ${\Lambda }^k{T}_p^{\ast }M$ und ${\Lambda }^{n-k}{T}_p^{\ast }M$* isomorph.

Der Hodge-Stern-Operator ${\Lambda }^k(V^{\ast })\to {\Lambda }^{n-k}(V^{\ast })$ wird durch folgende Bedingung eindeutig festgelegt: Für eine positiv orientierte Orthonormalbasis Basis $(e_i)$ von $V$ und eine dazu duale Basis $(e^i)$ ist $\ast (e^1\wedge ...\wedge e^k)=e^{k+1}\wedge ...\wedge e^n$

Eigenschaften

Doppelter Hodge-Stern Operator

Sei $v$ eine 2-dimensionale 1-Form. Dann gilt $\ast \ast v=-v$