Algebraic closure

Description

Der Algebraische Abschluss ist der Erweiterungskörper der algebraisch abgeschlossen ist und sich aus Polynomen des ursprünglichen Körpers erzeugen lässt.

Definition

Sei $K$ ein Körper. Ein Erweiterungskörper $L$ von $K$ wird algebraischer Abschluss von $K$ genannt, wenn $L|K$ algebraisch und $L$ algebraisch abgeschlossen ist.

Charakterisierung 1

Die Erweiterung $L|K$ ist algebraisch und jedes nicht konstante Polynom $f\in K[x]$ zerfällt über $L$ in Linearfaktoren.

Charakterisierung 2

Die Erweiterung $L|K$ ist minial mit der Eigenschaft, dass jedes nicht-konstante Polynom $f\in K[x]$ in Linearfaktoren zerfällt. Es gibt also abgesehen von $L$ selbst keinen Zwischenkörper von $L|K$ mit dieser Eigenschaft

Charakterisierung 3 (Folgerung)

Sei $S_K$ die Menge aller nicht-konstanten Polynome über $K$. $L$ ist ein Zerfällungskörper von $S_K$.

Properties

Eindeutigkeit

Algebraische Abschlüsse eines Körpers $K$ sind bis auf Isomorphie eindeutig.

Examples

Zerfällungskörper aller Polynome über einen Grundkörper $K$

Durch den Splitting field $\tilde{K}$ aller Polynoms $S_K$ über einen Grundkörper $K$ erhält man den algebraischen Abschluss des Körpers.

Beweis:

1. $\tilde{K}$ ist offensichtlich algebraisch
2. Sei $f\in \tilde{K}(x)$ nicht-konstant, irreduzibel, o.b.d.A normiert und irreduzibel. Zeige: Dann $f$ hat eine Nulltelle in $\tilde{K}$ $f$ hat eine Nullstelle $\alpha$ mit $f(\alpha )=0$. Damit ist $\tilde{K}(\alpha )\mid \tilde{K}$ algebraisch $⟹\tilde{K}(\alpha )\mid K$ ist algebraisch. Damit hat $\alpha$ ein Minimalpolnom in $K$. Dieses Minimalpolynom muss in $S_K$ enthalten sein $⟹\alpha \in \tilde{K}$.