Passende Zugstrecke

Beschreibung

Kneift man die Augen zusammen, so scheint es als ob die Laminierung eine Zugstrecke bildet. Wir sagen in dem Fall, dass die Laminierung zu einer Zugstrecke passt.

Definition durch Laminierung

Sei $(\mathcal{L},\nu )$ eine Messbare Laminierung auf $\Sigma$ und sei $(\tau ,\mu )$ eine Messbare Zugstrecke. Wir sagen, $(\mathcal{L},\nu )$ is passend zu $(\tau ,\mu )$, wenn es eine differenzierbare Abbildung $f:\Sigma \to \Sigma$ gibt, die homotop zur Identität ist und die folgenden Bedingungen erfüllt:

• $f(\mathcal{L})=\tau$
• $f$ ist nicht-singulär auf den Tangentenräumen der Blätter von $\mathcal{L}$
• Ist $p$ ein innerer Punkt eines Zweiges $e$ von $\tau$, dann $\nu (f^{-1}(p))=\mu (e)$ Ergibt das Sinn?

Definition durch Blätterung

Sei $f$ ein Pseudo-Anosov Homeomorphism und $(F^u,{\mu }^u),(F^s,{\mu }^s)$ dessen instabile, bzw. stabile Messbare Blätterung. Sei $\lambda >1$ die Dilatation. $(F^u,{\mu }^u)$ ist passend zu einer messbaren Zugstrecke, wenn es eine Einschränkung von $(F^u,{\mu }^u)$ auf eine gefaserte Umgebung der Zugstrecke gibt, bei der die Blätter transversal zu den Bindungen sind. Wir fordern zudem, dass keine Blätter zwei Spitzen von $N(\tau )$ verbinden. $f$ ein Pseudo-Anosov Homeomorphism. Dann besitzt dieser eine stabile und eine instabile Blätterung $(F^u,F^s)$, aus der sich eine Invariante Zugstrecke definieren lässt.
Betrachte die Singularitäten der Blätterungen. Entferne nun aus $k$-zackige Singularität eine offene Kreisscheibe in Form eines $k$-Ecks, sodass die Kanten des Kreises transversal zur stabilen Blätterung sind. e transversalen Blätterungen. Die stabilen Blätter enden jetzt aber auf beiden Seiten an den Kreisscheiben. Zieht man nun alle Stabilen Blätter zu jeweils einem Punkt zusammen, erhält man eine Zugstrecke. Das kann man daran erkennen, dass die Fläche ohne die $k$-Ecke eine gefaserte Zugstreckenumgebung ist. Man kann sich auch vorstellen, dass wir die Löcher aufblasen, bis nur noch eine Zugstrecke übrigbleibt. Da $F^s$ bzgl. $f$ invariant ist, ist auch die Zugstrecke invariant und passend zu $F^u$.

Satz: Umgekehrte Konstruktion.

Wir können auch umgekehrt aus einer Zugstrecke eine Blätterung machen. Betrachte dazu eine Zugstrecke $\tau$. Durch den Eigenvektor der Inzidenzmatrix (Zugstrecke) können wir jeder Kante ein Gewicht zuordnen. Diese Gewichte geben intuitiv an, wie stark die Zugstrecke hier gefaltet wird, ist also proportional zum Gewicht der instabilen Blätterung. Ähnlich kann man den Linker Eigenvektor der Inzidenzmatrix nehmen. Dessen Komponenten geben andere Gewichtung der Zweige, die wir als Länge bezeichnen. Die Komponenten der transponierten matrix beschreiben nämlich aus einem Grund, den ich noch nicht gaz verstanden habe die Dichte der stabilen Blätterung. Hierbei haben die peripheren/infinitessimalen Kanten immer Länge $0$. Wir konstruieren nun die Faserung, indem wir Rechtecke entlang der Zugstrecke in die Fläche kleben. Rechtecke mit Länge $0$ werden dadurch zu Segmenten. In Ordnung bringen. Bisher hatte ich immer die Intuition, dass das Gewicht einer messbaren Blätterung etwas über ihre Dichte aussagt. Es stellt sich aber heraus, dass bei messbaren Blätterungen lediglich eine Messfunktion bereitgestellt wird, die den Abstand angibt. Dieser Abstand ist allein davon abhängig, wie groß der “Höhenunterschied” zwischen den Blättern in lokalen Koordinaten ist. In dieser Definition gibt es also keine Dichte, ausschlaggebend ist nur der gewählte Atlas! Es folgt, dass wir aus der Zugstrecke einen Atlas definieren müssen, der Sinn ergibt.* Wir kleben also diese Rechtecke in die Mannigfaltigkeit. Dann definieren wir einen Atlas, indem es auf ein euklidisches Rechteck mit Länge $l(e)$ und die Breite $w(t)$ abgebildet wird. Anhand der Rechtecke definieren wir dann einen Atlas, der die Rechtecke auf Rechtecke der gleichen Länge/Breite im euklidischen Raum abbildet. Die Vereinigung aller Rechtecke bezeichnen wir mit $\mathcal{R}$. Wir nehmen an, das snach Entfernen der Zugstrecke jede Zusammenhangskomponente mindestens genau eine Bohrung besitzt. Dann sehen auch alle Komponenten außerhalb $\mathcal{R}$ aus wie punktierten Kreisscheibe mit Zacken. Wir identifizieren jeweils zwei benachbarte Zacken, wodurch wir eine Mannigfaltigkeit erhalten, die homöomorph zur vorherigen ist, und vollständig von Rechtecken überdeckt ist, die eine messbare Blätterung definieren. Dies beantwortet endlich meine Frage. Was bedeutet das Gewicht einer Zugstrecke für die äquivalente Messbare Blätterung? Die Bohrungen einer Fläche definieren ein Voronoi-Diagramm, dessen Ränder sind genau das Rückgrat einer Mannigfaltigkeit. Zwei Zellen sind durch eine Kante miteinander verbunden. Messung dieser Kante ist genau das doppelte des Zugstreckengewichts.

Eigenschaften

Zusammenhang und Vollständigkeit

Ist eine Zugstrecke auf einer Fläche $\Sigma$ passend zu einer Blätterung eines Pseudo-Anosov Homeomorphism, dann ist die Zugstrecke zusammenhängend und jede Komponente $\Sigma -\tau$ ist eine topologische Kreisscheibe oder ein topologischer Kreisring.

Beweis: Zusammenhang ist einfach, da die Blätter einer Blätterung dicht sind und die obere Fläche mit $k$-gons entfernt zusammenhängend ist. Da die Zugstrecke eine Retraction von der Fläche ohne Polygons ist, folgt auch die andere Eigenschaft.

Aus der oberen Konstruktion beobachten wir ein Problem. Wir können keine einfachen Weichen modellieren weil Zugstrecken nur aus $k$-gons und Monogons bestehen. Das Problem wird im Folgenden behoben:

Satz: Manche Zweige haben Gewicht $0$

Sei $f_{\beta }$ ein Pseudo-Anosov Homeomorphism von $D_n$. Sei $\tau$ eine Invariante Zugstrecke, konstruiert aus den folgenden Stücken: nente, der Gewicht $0$ hat und damit entfernt werden kann.

Beweis: Angenommen, es gilt. Dann ist die Außenseite der Zugstrecke ein glatter Kreisring und widerspricht den Voraussetzungen einer Zugstrecke.