Beschreibung

Kneift man die Augen zusammen, so scheint es als ob die Laminierung eine Zugstrecke bildet. Wir sagen in dem Fall, dass die Laminierung zu einer Zugstrecke passt.

Definition durch Laminierung

Sei eine Messbare Laminierung auf und sei eine Messbare Zugstrecke. Wir sagen, is passend zu , wenn es eine differenzierbare Abbildung gibt, die homotop zur IdentitĂ€t ist und die folgenden Bedingungen erfĂŒllt:

  • ist nicht-singulĂ€r auf den TangentenrĂ€umen der BlĂ€tter von
  • Ist ein innerer Punkt eines Zweiges von , dann Ergibt das Sinn?

Definition durch BlÀtterung

Sei ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus und dessen instabile, bzw. stabile Messbare BlÀtterung. Sei die Dilatation. ist passend zu einer messbaren Zugstrecke, wenn es eine EinschrÀnkung von auf eine gefaserte Umgebung der Zugstrecke gibt, bei der die BlÀtter transversal zu den Bindungen sind. Wir fordern zudem, dass keine BlÀtter zwei Spitzen von verbinden. ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus. Dann besitzt dieser eine stabile und eine instabile BlÀtterung , aus der sich eine Invariante Zugstrecke definieren lÀsst.
Betrachte die SingularitĂ€ten der BlĂ€tterungen. Entferne nun aus -zackige SingularitĂ€t eine offene Kreisscheibe in Form eines -Ecks, sodass die Kanten des Kreises transversal zur stabilen BlĂ€tterung sind. e transversalen BlĂ€tterungen. Die stabilen BlĂ€tter enden jetzt aber auf beiden Seiten an den Kreisscheiben. Zieht man nun alle Stabilen BlĂ€tter zu jeweils einem Punkt zusammen, erhĂ€lt man eine Zugstrecke. Das kann man daran erkennen, dass die FlĂ€che ohne die -Ecke eine gefaserte Zugstreckenumgebung ist. Man kann sich auch vorstellen, dass wir die Löcher aufblasen, bis nur noch eine Zugstrecke ĂŒbrigbleibt. Da bzgl. invariant ist, ist auch die Zugstrecke invariant und passend zu .

Satz: Umgekehrte Konstruktion.

Wir können auch umgekehrt aus einer Zugstrecke eine BlĂ€tterung machen. Betrachte dazu eine Zugstrecke . Durch den Eigenvektor der Inzidenzmatrix (Zugstrecke) können wir jeder Kante ein Gewicht zuordnen. Diese Gewichte geben intuitiv an, wie stark die Zugstrecke hier gefaltet wird, ist also proportional zum Gewicht der instabilen BlĂ€tterung. Ähnlich kann man den Linker Eigenvektor der Inzidenzmatrix nehmen. Dessen Komponenten geben andere Gewichtung der Zweige, die wir als LĂ€nge bezeichnen. Die Komponenten der transponierten matrix beschreiben nĂ€mlich aus einem Grund, den ich noch nicht gaz verstanden habe die Dichte der stabilen BlĂ€tterung. Hierbei haben die peripheren/infinitessimalen Kanten immer LĂ€nge . Wir konstruieren nun die Faserung, indem wir Rechtecke entlang der Zugstrecke in die FlĂ€che kleben. Rechtecke mit LĂ€nge werden dadurch zu Segmenten. In Ordnung bringen. Bisher hatte ich immer die Intuition, dass das Gewicht einer messbaren BlĂ€tterung etwas ĂŒber ihre Dichte aussagt. Es stellt sich aber heraus, dass bei messbaren BlĂ€tterungen lediglich eine Messfunktion bereitgestellt wird, die den Abstand angibt. Dieser Abstand ist allein davon abhĂ€ngig, wie groß der “Höhenunterschied” zwischen den BlĂ€ttern in lokalen Koordinaten ist. In dieser Definition gibt es also keine Dichte, ausschlaggebend ist nur der gewĂ€hlte Atlas! Es folgt, dass wir aus der Zugstrecke einen Atlas definieren mĂŒssen, der Sinn ergibt.* Wir kleben also diese Rechtecke in die Mannigfaltigkeit. Dann definieren wir einen Atlas, indem es auf ein euklidisches Rechteck mit LĂ€nge und die Breite abgebildet wird. Anhand der Rechtecke definieren wir dann einen Atlas, der die Rechtecke auf Rechtecke der gleichen LĂ€nge/Breite im euklidischen Raum abbildet. Die Vereinigung aller Rechtecke bezeichnen wir mit . Wir nehmen an, das snach Entfernen der Zugstrecke jede Zusammenhangskomponente mindestens genau eine Bohrung besitzt. Dann sehen auch alle Komponenten außerhalb aus wie punktierten Kreisscheibe mit Zacken. Wir identifizieren jeweils zwei benachbarte Zacken, wodurch wir eine Mannigfaltigkeit erhalten, die homöomorph zur vorherigen ist, und vollstĂ€ndig von Rechtecken ĂŒberdeckt ist, die eine messbare BlĂ€tterung definieren. Dies beantwortet endlich meine Frage. Was bedeutet das Gewicht einer Zugstrecke fĂŒr die Ă€quivalente Messbare BlĂ€tterung? Die Bohrungen einer FlĂ€che definieren ein Voronoi-Diagramm, dessen RĂ€nder sind genau das RĂŒckgrat einer Mannigfaltigkeit. Zwei Zellen sind durch eine Kante miteinander verbunden. Messung dieser Kante ist genau das doppelte des Zugstreckengewichts.

Eigenschaften

Zusammenhang und VollstÀndigkeit

Ist eine Zugstrecke auf einer FlÀche passend zu einer BlÀtterung eines Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus, dann ist die Zugstrecke zusammenhÀngend und jede Komponente ist eine topologische Kreisscheibe oder ein topologischer Kreisring.

Beweis: Zusammenhang ist einfach, da die BlÀtter einer BlÀtterung dicht sind und die obere FlÀche mit -gons entfernt zusammenhÀngend ist. Da die Zugstrecke eine Retraction von der FlÀche ohne Polygons ist, folgt auch die andere Eigenschaft.

Aus der oberen Konstruktion beobachten wir ein Problem. Wir können keine einfachen Weichen modellieren weil Zugstrecken nur aus -gons und Monogons bestehen. Das Problem wird im Folgenden behoben:

Satz: Manche Zweige haben Gewicht

Sei ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus von . Sei eine Invariante Zugstrecke, konstruiert aus den folgenden StĂŒcken: nente, der Gewicht hat und damit entfernt werden kann.

Beweis: Angenommen, es gilt. Dann ist die Außenseite der Zugstrecke ein glatter Kreisring und widerspricht den Voraussetzungen einer Zugstrecke.