Pseudogruppe eines topologischen Raumes

Beschreibung

Auf ${\mathbb{R}}^n$ kann man verschiedene Typen von Abbildungsgruppen definieren. Lineare Abbildungsgruppen, die Gruppe der stetigen, differenzierbaren oder glatten Abbildungen. Mit all diesen Konzepten kommen verschiedene Typen von Mannigfaltigkeiten zustande. Wir wollen nun einen Weg finden, diese Strukturen unter einem Konzept zu verallgemeinern.

Definition

Eine Pseudogruppe auf einem topologischem Raum $X$ ist eine Menge $\mathcal{G}$ von Homöos zwischen offenen Mengen von $X$ ist eine Menge $\mathcal{G}$ von Homöos zwischen offenen Mengen von $X$, die folgendes erfüllen:

1. Die Definitionsbereiche der Elemente $g:U\to V\in \mathcal{G}$ bilden eine Offene Überdeckung von $X$
2. Die Einschränkung von $g:U\to V$ auf kleinere offene Mengen ist auch in $\mathcal{G}$
3. Die Komposition $g_1\circ g_2$ ist in $\mathcal{G}$ sofern definiert
4. Das Inverse eines Elements ist in $\mathcal{G}$
5. Die Eigenschaft, in $G$ zu liegen ist lokal. Man kann Abbildungen stückweise erweitern. D.h. Ist $g:U\to V$ ein Homöo zwischen offenen Mengen von $X$ und $U$ ist überdeckt von offenen Untermengen $U_{\alpha }$, sodass jede Einschränkung $g{|}_{U\alpha }$ in $G$ liegt, dann liegt auch $g$ in $\mathcal{G}$.

Eigenschaften

Eigenschaft

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