Drehzahl

Beschreibung

Definition $k$-te Drehzahl (Zyklischer Zopf)

Verschlingungszahl von $B^n$ Sei $B$ ein Zyklischer Zopf mit Permutation $\tau$. Dann ist $B^n$ ein Reiner Zopf. Die $k$-te Drehzahl von $B$ ist definiert durch die Verschlingungszahl der Stränge $m$ und ${\tau }^k(m)$ ist $T{N}_k(B)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{T}_k(i)$ wobei $T_k$ die Verschlingungszahl zwischen den Strängen $i$ und ${\tau }^k(i)$ ist. Die obere Zahl ist nicht von $m$ anhängig.

Beweis: $B^n$ besteht aus $n$ Vorkommen von $B$. Verfolgt man den Strang $m$ und ${\tau }^k(m)$ wird aufgrund der zyklischen Natur jede Position genau einmal durchlaufen. Es reicht also die Verschlingungszahlen von $i$ und ${\tau }^k(i)$ für alle $i$ aufzuaddieren.

Jeder Zopf lässt sich aufteilen in eine Hintereinanderausführung von zyklischen Zöpfen. Dies macht es uns irgendwie möglich, die Drehzahl zu verallgemeinern.

Eigenschaften

Invariant unter Konjugation

Sind $B,C$ konjugiert, dann auch $B^n,C^n$. Verbindet man dann die Enden von $B^n,C^n$ erhält man den gleichen Zopf. Damit ist auch die Drehzahl invariant.

Einige Gleichungen

Ist $B$ zyklisch, dann gilt

• $T{N}_k(B)T{N}_{n-k}(B)$
• $T{N}_k(B)=T{N}_{in+k}(B)$
• $es(B)=\sum _{k=1}^{n-1}T{N}_k(B)$
• $T{N}_k(B^m)=mT{N}_{km}(B)$

lit_misiurewiczTurningNumbersPeriodic2013