Beschreibung

Ein Stellenwertsystem ist eine Möglichkeit, die Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen oder Reelle Zahlen kompakt darzustellen.

Übungen

McEliece Übung 5-14

Stellt man als Dezimalzahl dar, wiederholen sich die Nachkommastellen alle Ziffern. Bei wiederholen sich die Ziffern mit Periode .

Zeige: Die Periode eines Bruches , wobei eine Primzahl (außer und ) ist und ist gleich der Ordnung von im Primen Restklassenring . Warum ist außergewöhnlich?

Beweis: Ich denke mal, mit Ordnung ist die Ordnung in der Prime Restklassengruppe gemeint. Denn im normalen Primzahlkörper wäre die Ordnung für jede Zahl gleich, was vermutlich bedeuten würde, das die Periode in jedem Stellenwertsystem gleich ist (das fühlt sich aber nicht richtig an).

Was ist die Ordnung von in ?

Also ist die Ordnung von gleich . Das bedeutet, dass man mindestens mal mit sich selbst multiplizieren muss, um eine Zahl zu bekommen, die ist. Das heißt

Wir verallgemeinern: Ist die Ordnung von in gleich , dann muss man mindestens mal mit sich selbst multiplizieren, um ein Ergebnis zu bekommen. Das heißt

ist besonders, denn im Körper wäre . Es ist also egal, wie oft man es mit sich selbst multipliziert, man wird keine Zahl mit den Eigenschaften von oben Erhalten. Gleiches gilt auch für .

\newcommand{\R}{\mathbb R}

lit_mcelieceFiniteFieldsComputer2012