Homology group

Description

The homology $H_n$ is an invariant that can be associated to a Topological space. It takes the form of an Abelian group. Sometimes it is described as a functor, sending the category of topological spaces to the category of abelian groups. Abelian groups can (apparently) easily be completed into a Vector space, giving making it able to study using linear algebra.

There are many different kinds or theories of homology. I think, they generally all give isomorphic groups. The only other thing they have in common is that they are derived from Chain complexes and associated Boundary maps. In a nutshell they tell us about the relationship of image and kernel of the boundary map, i.e. how far the sequence of chain complexes is from being a Long exact sequence. Intuitively speaking they describe the number of $n$-dimensional holes of a space, since these form an obstruction to excactness.

Zu Homologie existiert eine duale Theorie, die Kohomologiegruppe. Ein Beispiel ist durch die De Rham Kohomologiegruppe gegeben.

Simpliziale Homologie

Die einfachste Homologie. Sie beschreibt die Struktur eines Simplizialkomplex. Siehe Simplicial homology

Singuläre Homologie

Eine nützlichere Version der Simplizialen Homologie. Hier werden die Simplizes in beliebige topologische Räume stetig eingebettet, was das Werkzeug mächtiger macht. Siehe Singular homology

Properties

The homology is best understood by its nice properties (in a kind of axiomatic definition). For that see Relative homology group

First homology from fundamental group

Die erste Homologiegruppe ist besonders in dem Sinne, dass sie sich aus der Fundamental group errechnen lässt. Man erhält $H_1(M,\mathbb{Z})$ durch Abelianisierung von ${\pi }_1(S)$

Examples

Theorem (Torus)

Für den zweidimensionalen Torus gilt $H_1(T^2,\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^2$.

Homologie von Graphen

Bei Graphen gibt es keine Flächen, weshalb, die normalen Homologiegruppen sehr langweilig sind. Wir brauchen bei Graphen Verfeinerungen. Siehe Roff - Reachability homology and the magnitude-path spectral sequence. Die wichtigsten drei Homologietheorien, sind die folgenden Dreien (absteigend nach Sensibilität sortiert). Das interessante hier ist, dass sich alle als Teile einer größeren Magnitude-Pfad-Spektralsequenz betrachten lassen. Abgesehen von der Konstruktion unterscheiden sich die drei Theorien darin, wie sie zyklische Graphen $Z_n$ erkennen.

Magnitudenhomologie

Die Magnitudenhomologie (Graphtheorie) betrachtet diskrete lokale Geodätische von Länge genau $l$ in Graphen. Es gibt eine Verallgemeinerung für beliebige metrische Räume. Für zyklische Graphen gilt: $M{H}_n(Z_m)={\mathbb{Z}}^m$

Pfadhomologie

Die Pfadhomologie ist eine weitere Homologietheorie von Graphen. ich verstehe den Unterschied zum vorherigen aber nicht. Für zyklische Graphen gilt jedoch:

• $P{H}_k(Z_1)=P{H}_k(Z_2)=\mathbb{Z}$ für $k=0$ und $0$ für $k>0$ (wie ein Punkt)
• $P{H}_k(Z_m)=\mathbb{Z}$ für $k=0,1$ und $0$ für $k>1$ (wie ein Kreis)

Erreichbarkeitshomologie

Die Erreichbarkeitshomologie ist eine weitere Homologietheorie von Graphen, ich verstehe den Unterschied zum vorherigen aber nicht. Für zyklische Graphen gilt: $R{H}_k(Z_m)=0$ für $k=0$ und $0$ für $k>0$ (wie ein Punkt)