Index (Vektorfeld)

Beschreibung

Der Index ordnet einer Singularität eines Vektorfeld (Vektorraum) eine Art Krümmung zu. Es beschreibt wie sich das Vektorfeld in der Umgebung der Singularität verhält.

Definition

Sei $p\in M\subseteq {\mathbb{R}}^n$ eine isolierte Singularität des Vektorfeldes $V$, d.h. eine Nullstelle von $V$, die von anderen Nullstellen isoliert ist.

Wir definiere den Index folgendermaßen. Betrachte ein kleines Polygon um $p$. Keine Kante des Polygons darf in einem Punkt parallel zum Vektorfeld verlaufen. Befestige (ganz nach dem Geiste der Euler characteristic) ein Plus an $p$ und an jede Ecke des Polygons und ein Minus an jede Kante des Polygons. Lasse das Vektorfeld auf die Plus und Minus wirken. D.h. Bewege die Vorzeigen ganz wenig entlang des Vektorfeldes. Zähle dann die Vorzeichen zusammen. Das Ergebnis ist der Index.

Eigenschaften

Zusammenhang zur Determinante in ${\mathbb{R}}^2$

Lineare Abbildungen vollen Ranges definieren ein Vektorfeld auf ${\mathbb{R}}^2$ mit einer Singularität im Punkt $0$. Der Index des Vektorfeldes ist $1$, genau dann, wenn die Determinante Positiv ist und $-1$ genau dann, wenn die Determinante negativ ist.

Beispiele

Index 1

Ist der Index $1$, so nennen wir die Singularität eine Quelle oder einen Abfluss, je nachdem, ob das Vektorfeld heraus oder hineinfließt.

Index -1

Ist der Index $-1$, so nennen wir die Singularität einen Sattel

lit_thurstonThreeDimensionalGeometryTopology2014