Orbit (Gruppenoperation)

Beschreibung

Der Orbit (auch Bahn) ist die Menge aller Punkte, die man durch Anwendung einer Gruppenoperation von einem bestimmten Punkt erreichen kann.

Definition Orbit nach Cayley

Sei $G$ eine Gruppe, die durch eine Gruppenoperation auf $Perm(S)$ abbildet. Die Gruppenoperation kann durch ein md)m]] dargestellt werden. Der Orbit eines Elements $s\in S$ ist die Menge, der Elemente (aus $S$), die von durch Pfeile mit $s$ verbunden sind.

Damit gleicht die Definition dem ae Gruppe)]]. Der wird auch über verbundene Pfeile eines Diagramms definiert.

Definition Orbit nach Gerkmann

Sei $G$ eine Gruppe, $X$ eine Menge und $G\times X\to X,(g,x)\mapsto g\cdot x$ eine Gruppenoperation Für jedes $x[](Gruppe.md)md)ntman$G(x) = {g \cdots x : g \in G}$die\ast \ast Bahn/Orbit\ast \ast von$x$[](Gruppenoperation.md)on.md)bitsbildeneineZerlegungderMenge$X$¹

Footnotes

1. Gerkmann - Proposition 9.3 ↩