Automorphismus des Einheitskreises

Definition

Eine Analytische Funktion, Biolomorphe Funktion $f:\mathbb{E}\to \mathbb{E}$ heißt ein Automorphismus des Einheitskreises.

Dieser ist offensichtlich ein Automorphismus

Charaktierisierung

Eine Grundannahme ist, dass Automorphismen auf dem Einheitskreis eine Teilmenge der Möbiustransformation sind.

Wir bemerken zudem, dass Randpunkte wieder auf Randpunkte abbilden müssen.

Damit kann man Automotphismen auf dem Einheitskreis leicht konstruieren: Man wählt einen Punkt $c$ aus, der auf $0$ abgebildet werden soll. Dann kann man noch den Kreis drehen.

Eine Möbiustransformation, die den ersten Schritt kann ist eine Inversion von $c$ auf $0$ (mit einer nachfolgenden Spiegelung, um die Konformität (Analysis) zu erhalten), die zudem den Einheitskreis auf sich selbst abbildet. Eine solche Inversion hat $\frac{1}{\overline{c}}$ als Zentrum. Deshalb wird diser Punkt auf $\infty$ abgebildet und die Transformation hat die Gleichung:

$Aut(\mathbb{E})=\left\{g_{c,\lambda }.\begin{array}{rcl}\mathbb{E}& \to & \mathbb{E}\\ z& \mapsto & e^{i\lambda }\frac{z-c}{1-\overline{c}z}\end{array}:\lambda \in [0,2\pi [\right\}$

und nach dem Schwarzsches Lemma:

$Au{t}_0(\mathbb{E}):=\{f\in Aut(\mathbb{E}):f(0)=0\}=\left\{f:\begin{array}{rcl}\mathbb{E}& \to & \mathbb{E}\\ z& \mapsto & e^{i\lambda }z\end{array}:\lambda \in [0,2\pi [\right\}$¹

Eigenschaften

Hat $f\in Aut(\mathbb{E})$ zwei Fixpunkte, so ist $f=i{d}_{\mathbb{E}}$²

Footnotes

1. Zenk - Satz 25.2.2 ↩

2. Zenk - Lemma 25.2.3 ↩