Join (Topologischer Raum)

Beschreibung

Bei der Suspension (Zellkomplex) haben wir beide Enden zu einem Punkt zusammengezogen. Wir verallgemeinern dies nun so, dass die Enden zu unterschiedlichen Sachen zusammengezogen werden können.

Definition

Seien $X,Y$ Zellkomplexe. Der Join $X\ast Y$ ist ein Quotient auf $X\times Y\times I$, bei dem $(x,y_1,0)\sim (x,y_2,0)$ und $(x_1,y,1)\sim (x_2,y,1)$ Das heißt, dass die Linke Seite zu $X$ und die Rechte Seite zu $Y$ zusammengezogen wird.

Algebraische Charakterisierung

Der Join $X\ast Y$ lässt sich algebraisch als Linearkombination $t_{1}x+t_{2}y$ mit $x\in X,y\in Y,t_1+t_2=1$ beschreiben.

Charakterisierung durch Suspension des Smash-Produkts

Der Join ist homöomorph zur Suspension (Zellkomplex) des Smashprodukt (Topologischer Raum) $X\ast Y\eqsim S(X\wedge Y)$

Eigenschaften

Tip

Beispiele

Simplex

Der Simplex lässt sich als Join von Nulldimensionalen Zellen $X_i$ beschreiben: ${\Delta }^{n-1}=X_1\ast ...\ast X_n$ Durch die Algebraische Charakterisierung erhält man natürlich die Beschreibung des Simplex als Linearkombination $(t_1,...,t_n),t_1+t_2+...+t_n=1$.

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