Exact differential equation

Description

An exact differential equation is a special type of implicit Ordinary differential equation which commonly appears in physics and engineering. There is an established way of solving these equations.

Definition

Seien $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ ein Gebiet, $f:U\to \mathbb{R}$ stetig, $g:U\to \mathbb{R}$ stetig. Eine Implizite Differentialgleichung $f(t,x)+g(t,x)x^{\prime }=0$ heißt exakt, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion $F:U\to \mathbb{R}$ gibt mit (grad F)(t, x)= \begin{pmatrix}f(t, x) \\ g(t, x) \end{pmatrix} \text{ für alle }(t, x)\in U \tag{1} In diesem Fall heißt F Stammfunktion für $(1)$

Äquivalente Definition I

Seien $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ eine Sternförmige Menge, $f:U\to \mathbb{R}$ und $g:U\to \mathbb{R}$ stetig partiell differenzierbar. Die Differentialgleichung $f(t,x)+g(t,x)x^{\prime }=0$ ist genau dann exakt, wenn sie die Integrabilitätsbedingung für alle $(t,x)\in U$ erfüllt: $\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}$

Falls $U$ eine nicht-zusammenhängende Menge sondern eine Sternmenge ist, so ist obere Charakterisierung lediglich eine Notwendige Eigenschaft.

Properties

Solution

Seien $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ ein Gebiet, $f:U\to \mathbb{R}$ und $g:U\to \mathbb{R}$ stetig. Sei $I\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall mit nichtleerem Inneren. Eine Funktion $\lambda :I\to \mathbb{R}$ ist genau dann eine Lösung von $(1)$, wenn

1. $\lambda$ ist stetig differenzierbar
2. $F(t,\lambda (t))=c\in \mathbb{R}$ für jedes $t\in I$

Beweisidee: Betrachte den Funktionsgraphen dieser Lösung. Wir wollen diesen aus der Differentialgleichung berechnen. Üblicherweise haben wir ein Vektorfeld. Wenn wir entlang des Vektorfeldes integrieren, erhalten wir die Lösung. Die Differentialgleichung lässt sich umstellen zu $x^{\prime }=\frac{-f(t,x)}{g(t,x)}$. Das Vektorfeld zeigt demnach an jedem Punkt in Richtung $(g(t,x),-f(t,x))$ (oder umgekehrt). Eine andere Möglichkeit ist es, ein Vektorfeld zu haben, das senkrecht zu der Lösungskurve steht. Dann ist die Lösungskurve exakt die Höhenlinie. Angenommen, dieses Vektorfeld wäre jetzt ein Gradient einer Stammfunktion. Wir müsste diese Stammfunktion aussehen? Nun, senkrecht bedeutet in Richtung $(f(t,x),g(t,x))$. Folglich müsste die Stammfunktion eine Funktion sein mit $gradF=(f(t,x),g(t,x))$. Dies zeigt die Korrektheit der Lösung.

Startwertproblem

Sei $(t_0,x_0)\in U$ ein Startzustand einer Exakten Differentialgleichung Gilt $g(t_0,x_0)\ne 0$, dann hat das Initial value problem $x(t_0)=x_0$ eine lokal eindeutige Lösung $\lambda :]t_0-\beta ,t_{ß}+\beta [$, die sich durch Auflösen von $F(t,\lambda (t))=F(t_0,x_0)$ bekommen lässt.

Application

Calculating solutions of exact differential equations

A differential equation of the form as above can be solved as follows:

1. Check if the equation is exact by using the characterisation.
2. Find a potential function with the property that the partial derivatives give $f$ and $g$.
3. Solve $F(t,\lambda (t))=F(t_0,x_0)$ by $\lambda$. And find out the domain. This will be the Solution (ODE).