Radikalerweiterung

Beschreibung

Eine Radikalerweiterung ist eine spezielle Form der Körpererweiterung, bei der Grundkörper nur um Wurzeln adjungiert wird.

Nach Gerkmanns definition ist auch ein Turm von sukzessiven Adjunktionen um Wurzeln eine Radikalerweiterung

Definition

Eine Erweiterung $K(a_1,...,a_n)|K$ wird (von mir) radikal genannt, wenn es für alle $i\in \{1,...n\}$ein $k_i\in \mathbb{N}$ gibt mit $a_i^{k_i}\in K$

Hinreichende Voraussetzung

Sei $L$ ein normaler Erweiterungskörper von $K$ vom Primzahlgrad $p$, welche die $p$-ten Einheitswurzeln enthält.

Dann ist $L$ Teil einer Radikalerweiterung adjungiert mit $n-1$ $p$-ten Wurzeln $a_1,...,a_{p-1}$. D.h. $L\subseteq K(a_1,...,a_{p-1})$ mit $a_i^p\in K$ für alle $i\in 1,p-1$

Siehe auch

• Galoisgruppe von einfacher Radikalerweiterungthbb R}$

hbb R}$

$

lit_hadlockFieldTheoryIts2000