Rechteckwelle

Beschreibung

Die Rechteckwelle beschreibt den Graphen einer speziellen periodischen Funktion. Sie sieht aus wie Rechtecke.

Definition

Die “Rechteckwellen-Funktion” kann durch $F(\theta )=\sin (\theta )+\frac{\sin (3\theta )}{3}+\frac{\sin (5\theta )}{5}+\dots$

Man kommt darauf, indem man den Graph der analytischen Funktion $Im(\frac{1}{2}Log(\frac{1+z}{1-z}))$ untersucht. Wegen $Im(\frac{1}{2}Log(\frac{1+z}{1-z}))=sign(\Theta )\frac{\pi }{4}$ für $z=e^{i\theta }$, wobei $\Theta$ der Hauptwert von $\theta$ ist, ergibt eine mehrfache Umwanderung des Einheitskreises die periodische Rechteckwelle. Man schließt, dass die Fourrierreihe von $Im(\frac{1}{2}Log(\frac{1+z}{1-z}))$ um $0$ zum Radius $1$ genau die Rechteckfunktion ist.