Convergence radius

Beschreibung

Given a Power series it is sometimes possible to associate a convergence radius. This draws up a circle inside which all numbers converge when plugged into the power series.

Definition

Es sei

• $(X,||\cdot ||)$ ein $\mathbb{C}$-Banachraum
• $a\in \mathbb{C}$
• $(c_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge in X

Sei $\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$ eine Power series zum Entwicklungspunkt $a$

Ist $L:=\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\sqrt[n]{||c_n||}$, dann heißt $\rho :=\{\begin{array}{ll}0& \text{falls }L=\infty \\ \frac{1}{L}& \text{falls }L\in ]0,\infty [\\ \infty & \text{falls }L=0\end{array}$ der Konvergenzradius von der Potenzreihe.[^1]

Note: On the boundary, both can happen. Convergence and divergence.

Properties

Konvergenz

Die Power series $\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$ ist für alle $z\in \mathbb{C}$

• mit $|z-a|<\rho$ absolut konvergent
• mit $|z-a|>\rho$ divergent[^2]

Criteria

The following criteria can be used to calculate the convergence radius:

• Quotientenkriterium
• Hadamard criterion