Coprime ideals

Description

The notion of coprime ideals is a generalisation of Coprime Numbers to Ideals.

Definition

Zwei Ideale sind teilerfremd, wenn $I+J=(1)$ gilt, wobei $(1)$ wie üblich das Einheitsideal in $R$ bezeichnet.

Properties

Teilerfremdheit von Produkten

Sind mehrere Ideale $I_k$ teilerfremd zu einem anderen Ideal $J$, dann ist auch das Produkt dieser Ideale teilerfremd zu $J$.

Produkt von Teilerfremden Idealen

Das Produkt von teilerfremden Idealen ist deren Schnitt: $I_1\cdot \cdots \cdot I_m=I_1\cap \cdots \cap I_m$

Examples

Sei $R=\mathbb{Z}$ und seien $m,n\in \mathbb{N}$. $(m),(n)$ sind genau dann teilerfremd, wenn $m,n$ als natürliche Zahlen teilerfremd sind.